bzoj 4475: [Jsoi2015]子集选取 数学

题意

1<=N,K<=10^9
答案模10^9+7输出

分析

这题答案就是2^(n*k)。什么？你问我为什么？找规律啊，打表啊，显然啊……

恩其实这规律还是不难猜的。但我自己闲着无聊瞎yy了一个证明出来。
恩很容易发现集合里面的每一个元素是互不影响的，也就是说答案一定是w^n的形式（w表示一个元素组成满足题目的三角形的数量）。
那既然只要求一个元素，那就好办了。
我们设f[k]表示用一个元素组成满足题目条件的k*k的三角形数量。
有f[0]=1,f[1]=2
考虑知道了f[1..k-1]，如何得到f[k]
假设原来是一个(k-1)*(k-1)的三角形，现多加了一行，变成了k*k的三角形。
只考虑新加的那行，容易发现这行必然是前面连续的一段选择了该元素，剩下的则为空集。
假设现最后一行的前l列选择了该元素，那么整个k*k三角形的前l列则都要选择该元素。至于剩下部分，最后一行不能再选，其余部分就组成了一个(k-l-1)*(k-l-1)的三角形，那么方案数就是f[k-l-1]
那么就有f[k]=f[k−1]+f[k−2]+...+f[0]+1
随手归纳一下就可以得到f[k]=2k
那么答案就是2nk

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int MOD=1000000007;int ksm(int x,int y){    int ans=1;    while (y)    {        if (y&1) ans=(LL)ans*x%MOD;        x=(LL)x*x%MOD;y>>=1;    }    return ans;}int main(){    int n,k;    scanf("%d%d",&n,&k);    printf("%d",ksm(2,(LL)n*k%(MOD-1)));    return 0;}