JZOJ 4058. 【JSOI2015】子集选取

Description

Input

Output

Sample Input

输入1：

2 2

输入2：

6 40

Sample Output

输出1：

16

输出2：

401898087

Data Constraint

Solution

• 设 f（n，k） 为输入为 n，k 的答案。

• 由于对于每一个元素，选取过程都是独立的，

• 即元素 i 不会影响元素 j 的选取

• 那么可以得到 f（n，k）=f（1，k）n 。

• 下面来推导 f（1，k） 。单个元素的选取的特点是：

• 选取 1 的位置是连续的，并会形成阶梯状。

• 如下图：（当 k=6的情况：深色的是被选取的部分）

• 设 Ai 为第 i 列最后选取的行是什么。若从第 1 列到第 m 列均存在格子被选取，

• 那么将满足：

  Ai+1≤Ai（1≤i≤m）

• 设 Gi,j 表示在第 i 列最后选取的是第 j 行的方案数，那么得到递推式：

  Gi,j=∑p=jkGi−1，p

• 观察可得：

  Gi,j=Gi−1，j+Gi，j+1

• 推导一下会发现这是组合数的形式！

• 由于元素可以一个也不选，也可以在任意位置结束，所以：

  f（1，k）=1+∑Gi,j=2k

• 综合可得：

  f（n，k）=2n∗k

• 则时间复杂度为 O（logn） ！

Code

#include<cstdio>using namespace std;const int mo=1e9+7;int n,k;inline long long ksm(long long x,int y){    long long s=1;    while(y)    {        if(y&1) s=s*x%mo;        x=x*x%mo;        y>>=1;    }    return s;}int main(){    scanf("%d%d",&n,&k);    printf("%lld",ksm(ksm(2,k),n));    return 0;}