hdu2546饭卡（经典01背包题目）

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2546

思路：这个题目的重量和价值都是菜的价格，可以得出动态方程dp[j]=max(dp[j-value[i]],dp[j])，然后再根据题意中的要求，来一发贪心（你肯定要剩下五块钱减去菜价最贵的，你肯定要想办法买贵的东西）。

关于01背包：

题目 
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。 
基本思路 
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。 
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。 
这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f [i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。 

注意f[i][v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N] [V]，而是f[N][0..V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项f[i][v-1]，这样就可以保证f[N] [V]就是最后的答案。至于为什么这样就可以，由你自己来体会了。 

优化空间复杂度 
以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。 

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f [0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1] [v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v -c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i -1][v-c[i]]的值。伪代码如下： 

for i=1..N 
for v=V..0 
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}; //当然这个地方你要考虑数组越界的问题，v>=c[i]

其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i- 1][v-c[i]]}，因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。 

总结 
01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。 

代码：

#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstring>using namespace std;const int maxn=1010;int value[maxn];int dp[maxn];int main(){    int n;while(cin>>n){        if(!n) break;        memset(dp,0,sizeof(dp));        for(int i=0;i<n;i++) cin>>value[i];        sort(value,value+n);        int money;cin>>money;        if(money<5){            cout<<money<<endl;            continue;        }        money=money-5;        for(int i=0;i<n-1;i++)            for(int j=money;j>=0;j--)            if(j>=value[i])//                dp[j]=max(dp[j-value[i]]+value[i],dp[j]);//dp过程        int Max=0;        for(int i=0;i<=money;i++) if(dp[i]>Max) Max=dp[i];        int ans;        ans=money-Max+5-value[n-1];        cout<<ans<<endl;    }    return 0;}