dp整数划分问题——03:复杂的整数划分问题

来源：互联网发布：淘宝首页轮播图多大编辑：程序博客网时间：2024/06/06 10:47

整数划分 :
　　这道好题求:
　　1. 将n划分成若干正整数之和的划分数。
　　2. 将n划分成k个正整数之和的划分数。
　　3. 将n划分成最大数不超过k的划分数。
　　4. 将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
　　5. 将n划分成若干不同整数之和的划分数。

1.若划分的多个整数可以相同

　　设dp[i][j]为将i划分为不大于j的划分数

　　(1) 当i<j时，i不能划分为大于i的数，所以dp[i][j]=dp[i][i]；

　　(2) 当i>j时，可以根据划分中是否含有j分为两种情况。

若划分中含有j，划分方案数为dp[i-j][j]；

若划分数中不含j，相当于将i划分为不大于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。

所以当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]；

　　(3) 当i=j时，也分为两种情况：

若划分中含有j只有一种情况，

若划分中不含j相当于将i划分为不大于j-1的划分数。

此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]。

2.若划分的正整数必须不同

　　设dp[i][j]为将i划分为不超过j的不同整数的划分数

　　(1) 当i<j时，i不能划分为大于i的数，所以dp[i][j]=dp[i][i]；

　　(2) 当i>j时，可以根据划分中是否含有j分为两种情况。

若划分中含有j，则其余的划分中最大只能是j-1，方案数为dp[i-j][j-1]；

若划分中不含j，相当于将i划分为不大于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。

所以当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i][j-1]；

　　(3) 当i=j时，两种情况：

若划分中含有j只有一种情况；

若划分中不含j相当于将i划分为不大于j-1的划分数。

此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]。

二将n划分为k个整数的划分数

设dp[i][j]为将i划分为j个整数的划分数。

　　(1) i<j为不可能出现的情况，dp[i][j]=0；

　　(2) 若i=j，有一种情况：i可以划分为i个1之和，dp[i][j]=1；

　　(3) 若i>j，可以根据划分数中是否含有1分为两类：

若划分数中含有1，可以使用“截边法”将j个划分分别截去一个1，

把问题转化为i-j的j-1个划分数，为dp[i-j][j-1]；

若划分中不包含1，使用“截边法”将j个划分数的最下面一个数截去，

将为题转化为求i-j的j个划分数，为dp[i-j][j]。所以i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i-j][j]。

三将n划分为若干正奇数之和的划分数

设f[i][j]为将i划分为j个奇数之和的划分数，g[i][j]为将i划分为j个偶数之和的划分数。

使用截边法，将g[i][j]的j个划分都去掉1，可以得到f[i-j][j]，所以

g[i][j] = f[i-j][j]。

f[i][j]中有包含1的划分方案和不包含1的划分方案。对于包含1的划分方案，可以将1的划分除去，转化为“将i-1划分为j-1个奇数之和的划分数”，即f[i-1][j-1]；对于不包含1的划分方案，可以使用截边法对j个划分每一个都去掉一个1，转化为“将i-j划分为j个偶数之和的划分数”，即g[i-j][j]。

所以f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]。

f[n][0]+f[n][1]+……+f[n][n]为将n划分为若干奇数的划分数，为问题4的答案。

另：

将整数划分成连续正整数之和：

如15可以划分成4种连续整数相加的形式：
15
7 8
4 5 6
1 2 3 4 5

首先考虑一般的形式，设n为被划分的正整数，x为划分后最小的整数，如果n有一种划分，那么
结果就是x,如果有两种划分，就是x和x 、x + 1，如果有i种划分，就是

x ;

x 、x + 1 ;

x、 x + 1、 x + 2 、... ;

x、 x + 1、 x + 2、 ... 、 x + i - 1;
将每一个结果相加得到一个公式(i * x + i * (i - 1) / 2) = n，i为当前划分后相加的正整数个数。
满足条件的划分就是使x为正整数的所有情况。
如上例，

当i = 1时，x = 15;

当i = 2时， x = 7;

当i = 3时，x = 4;

当i = 4时，x = 4/9; (x不是正整数，因此，15不可能划分成4个正整数相加)

当i = 5时，x = 1;

当i = 6时，x < 1; (所以i最大为5)

好了，咱们看题

03:复杂的整数划分问题

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描述

将正整数n表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+…+nk,其中n1>=n2>=…>=nk>=1，k>=1。
正整数n的这种表示称为正整数n的划分。

输入

标准的输入包含若干组测试数据。每组测试数据是一行输入数据,包括两个整数N 和 K。
(0 < N <= 50, 0 < K <= N)

输出

对于每组测试数据，输出以下三行数据:
第一行: N划分成K个正整数之和的划分数目
第二行: N划分成若干个不同正整数之和的划分数目
第三行: N划分成若干个奇正整数之和的划分数目

样例输入

5 2

样例输出

提示

第一行: 4+1, 3+2,
第二行: 5，4+1，3+2
第三行: 5，1+1+3， 1+1+1+1+1+1

#include <iostream>#include <cstdio>#include <queue>#include <vector>#include <map>using namespace std;int main(){    int n, k;    while( cin >> n >> k )    {        int num[n+1][n+1];             // 表示把n分成k个数的dp数组;        int num1[n+1][n+1];            // 表示把n分成不相等正整数的dp数组;        int g[55][55], f[55][55];      // g数组为偶数dp数组， f数组为奇数dp数组;        int i, j;                                    // 初始化;        for( i=0; i<=n; i++ )        {            for( j=0; j<=n; j++ )            {                num[i][j] = num1[i][j] = f[i][j] = g[i][j] = 0;            }        }                                    // 这就是上面说的其中两种。        for( i=1; i<=n; i++)        {            for( j=1; j<=n; j++)            {                if( i < j )                {                    num[i][j] = 0;                    num1[i][j] = num1[i][j-1];                }                if( i == j )                {                    num[i][j] = 1;                    num1[i][j] = 1 + num1[i][j-1];                }                if( i > j )                {                    num[i][j] = num[i-1][j-1] + num[i-j][j];                    num1[i][j] = num1[i-j][j-1] + num1[i][j-1];                }            }        }                                 //  这里是最晕的，只要记住就好了,搞懂也没多大意义;        f[0][0]=1; g[0][0]=1;        for( i=1; i<=n; i++ )        {            for( j=1; j<=i; j++)            {                g[i][j] = f[i-j][j];                f[i][j] = f[i-1][j-1] + g[i-j][j];            }        }        cout << num[n][k] <<endl;        cout << num1[n][n] <<endl;        int sum = 0;        for( i=0; i<=n; i++)            sum += f[n][i];        cout << sum <<endl;    }    return 0;}

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