斯特林数

斯特林数

第一类：

第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是{\displaystyle n}个元素的项目分作{\displaystyle k}个环排列的方法数目。常用的表示方法有{\displaystyle s(n,k),\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]}。

换个较生活化的说法，就是有{\displaystyle n}个人分成{\displaystyle k}组，每组内再按特定顺序围圈的分组方法的数目。例如{\displaystyle s(4,2)=11}：

• 给定{\displaystyle s(n,0)=0,s(1,1)=1}，有递归关系{\displaystyle s(n,k)=s(n-1,k-1)+(n-1)s(n-1,k)}

递推关系的说明：考虑第n个物品，n可以单独构成一个非空循环排列，这样前n-1种物品构成k-1个非空循环排列，有{\displaystyle s(n-1,k-1)}种方法；也可以前n-1种物品构成k个非空循环排列，而第n个物品插入第i个物品的左边，这有{\displaystyle (n-1)*s(n-1,k)}种方法。

• {\displaystyle |s(n,1)|=(n-1)!}
• {\displaystyle s(n,k)=(-1)^{n+k}|s(n,k)|}
• {\displaystyle s(n,n-1)=-C(n,2)}
• {\displaystyle s(n,2)=(-1)^{n}(n-1)!\;H_{n-1}}
• {\displaystyle s(n,3)={\frac {1}{2}}(-1)^{n-1}(n-1)![(H_{n-1})^{2}-H_{n-1}^{(2)}]}

第二类：

第二类Stirling数是{\displaystyle n}个元素的集定义k个等价类的方法数目。常用的表示方法有{\displaystyle S(n,k),S_{n}^{(k)},\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}}。

换个较生活化的说法，就是有{\displaystyle n}个人分成{\displaystyle k}组的分组方法的数目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成1组，只能所有人在同一组，因此{\displaystyle S(4,1)=1}；若所有人分成4组，只能每人独立一组，因此{\displaystyle S(4,4)=1}；若分成2组，可以是甲乙一组、丙丁一组，或甲丙一组、乙丁一组，或甲丁一组、乙丙一组，或其中三人同一组另一人独立一组。

• 给定{\displaystyle S(n,n)=S(n,1)=1}，有递归关系{\displaystyle S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k)}。

  递推关系的说明：考虑第n个物品，n可以单独构成一个非空集合，此时前n-1个物品构成k-1个非空的不可辨别的集合，有{\displaystyle S(n-1,k-1)}种方法；也可以前n-1种物品构成k个非空的不可辨别的集合，第n个物品放入任意一个中，这样有{\displaystyle k*S(n-1,k)}种方法。

  
  

  • {\displaystyle S(n,n-1)=C(n,2)=n(n-1)/2}
  • {\displaystyle S(n,2)=2^{n-1}-1}
  • {\displaystyle S(n,k)={\frac {1}{k!}}\sum _{j=1}^{k}(-1)^{k-j}C(k,j)j^{n}}
  • {\displaystyle B_{n}=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)}

  {\displaystyle C(k,j)}是二项式系数，{\displaystyle B_{n}}是贝尔数。