洛谷 1006 传纸条

题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

感觉大家都很喜欢写四维DP。

我来发个三维DP（虽然也没多少区别QAQ..）。

这题和前面1004方格取数一毛一样。

首先，要找来回两条路径，这样考虑太麻烦，把它转化为两个人从1,1这点一起走，一直走到n,m这点所经过的路径。

定义f[p][i][j]表示当前走了p步，第一个人走到第i行，第二个人走到第j行的最大价值。

显然两个人的坐标都可以计算出来，第一个人是(i,p-i+1)，第二个人是(j,p-j+1)。

转移就考虑两个人的上一步是怎样走的。

f[p][i][j] = max(max(f[p - 1][i][j], f[p - 1][i - 1][j]), max(f[p - 1][i][j - 1], f[p - 1][i - 1][j - 1])) + a[i][p - i + 1] + a[j][p - j + 1]。

由于两条路径经过同一个点的价值只能算一次，所以如果当前i==j（相当于两个人的位置重合了），我们只能算一遍该点的价值。

所以整个转移就是这样了：

f[p][i][j] = max(max(f[p - 1][i][j], f[p - 1][i - 1][j]), max(f[p - 1][i][j - 1], f[p - 1][i - 1][j - 1]));

f[p][i][j] += i == j ? a[i][p - i + 1] : a[i][p - i + 1] + a[j][p - j + 1];

是不是很简单。。

几个注意事项：

1.数组别开小，f[][][]的第一维要两倍的n。

2.for()的时候要注意因为这里的i,j都是行，所以都要枚举到n，不要习惯性地写成n,m。

#include <cstdio>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;int m,n,a[52][52],dp[104][52][52];int main(){scanf("%d%d",&m,&n);for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&a[i][j]);for(int p=1; p<=m+n-1; p++)for(int i=1; i<=m && i<=p; i++)for(int j=1; j<=m && j <=p; j++) {dp[p][i][j] = max(max(dp[p-1][i][j],dp[p-1][i-1][j-1]),max(dp[p-1][i][j-1],dp[p-1][i-1][j]));dp[p][i][j] += i==j ? a[i][p-i+1] : a[i][p-i+1]+a[j][p-j+1];}printf("%d",dp[m+n-1][m][m]);return 0;}