简单整数划分问题

1.纯递归

设函数func(int n, int m) 定义为计算 把整数 n 划分为 小于或等于 m 的一系列数字之和 的划分方法有多少种，则对于：

（1）当 n == 1 时，无论 m 取何值，都只能 划分为 1；

（2）当 m == 1 时 ，无论 n 为何值， 也只能划分为 n 个 1 相加 ，只有一种划分方法；

（3）当 n < m, 显然 func(n, m) = func(n , n);

（4）当 n > m 时， 可分两种情况讨论，

(1)划分中包含 m 时， 有func(n -m, m) 种划分方法；

(2)划分中不包含 m 时， 有 func(n, m-1)种划分方法；

所以  func(n ,m) = func(n -m, m) + func(n, m-1);

（5）当 n == m 时，当划分包含 m 时， m = m ,只有一种划分方法；

 当 不包含 m 时， 有 func(n, m-1) 种划分方法。

根据以上分析：

func( n, n ) = 1, 当 n ==1;

func( n, n ) = 1, 当m == 1;

func( n, n )  = func( n,n ) , 当n < m;

func( n, n )  = func( n, m-1) +1 ,  当n == m;

func( n, n ) = func ( n - m, m ) + func ( n , m -1) ,  当n > m;

相应的代码如下：

/* * 1.cpp * *  Created on: 2017年9月01日 *      Author: Administrator */#include <iostream>using namespace std;int func(int n, int m){if(n == 1 || m == 1){return 1;}else if(n < m){return func(n,n);}else if (n == m) {return func(n,m-1)+1;} else if(n >= m){return func(n,m-1) + func(n-m,m);}}int main(){int n;while(cin>>n){cout<<func(n,n)<<endl;}return 0;}

2.记忆型递归：

/* * 1.cpp * *  Created on: 2017年9月01日 *      Author: Administrator */#include <iostream>#include <string.h>using namespace std;const int maxN = 1000;int dp[maxN][maxN];int func(int n, int m){if(n == 1 || m == 1){return 1;}else if(n < m){if( dp[n][m] != -1 ){return dp[n][m];}else{return dp[n][m] = func(n,n);}}else if (n == m) {if( dp[n][m] != -1 ){return dp[n][m];}else{return dp[n][m] = func(n,m-1)+1;}} else if(n > m){return dp[n][m] = func(n,m-1) + func(n-m,m);}}int main(){int n;memset(dp,-1,sizeof(dp));while(cin>>n){cout<<func(n,n)<<endl;}return 0;}

3.动态规划：

/* * 1.cpp * *  Created on: 2017年9月01日 *      Author: Administrator */#include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;#define N 55int f[N][N];int main(){int n;    while(cin>>n){        n++;        for(int j=1;j<=n;j++){            f[1][j]=1;            for(int i=2;i<=n;i++){                if(i<j) f[i][j]=f[i][j-1];                else f[i][j]=f[i-j][j]+f[i][j-1];            }        }        printf("%d\n",f[n][n]);    }}