简单的整数划分

题目描述

将正整数n表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ，k>=1 。

正整数n的这种表示称为正整数n 的划分。正整数n 的不同的划分个数称为正整数n 的划分数。

输入

标准的输入包含若干组测试数据。每组测试数据是一个整数N(0 < N <= 50)。

输出

对于每组测试数据，输出N的划分数。

样例输入

5

样例输出

7

提示

5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1

该问题是求出n的所有划分个数，也就是f(n, n)。下面我们考虑求f(n,k)的递归方法：

 

根据n和k的关系，考虑以下几种情况： 

       (1)当n=1时，不论k的值为多少（k>0)，只有一种划分即{ 1 };

      

       (2) 当 k=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n 个1  { 1, 1, 1, ..., 1 };

       

       (3) 当 n=k 时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

         (a).划分中包含n的情况，只有一个即{ n }；

         (b).划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n 小，即n 的所有( n - 1 ) 划分。因此 f(n, n) = 1 + f(n, n-1);

       

       (4) 当n < k 时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于 f(n, n);

       

       (5) 但 n > k 时，根据划分中是否包含最大值 k，可以分为两种情况：

         (a).划分中包含 k 的情况，即 { k, { x1, x2, ..., xi } },   其中 { x1, x2, ..., xi } 的和为n - k，可能再次出现 k，因此是（n - k）的k划分，因此这种划分个数为 f(n-k, k);

         (b).划分中不包含 k 的情况，则划分中所有值都比 k 小，即n 的 ( k - 1 ) 划分，个数为 f(n, k-1);

   因此 f(n, k) = f(n - k, k) + f(n, k - 1);

         

   综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。而情况（5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小k以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：

               ( n=1 or k=1）           f(n,k)= 1

                   (n < k )            f(n,n)

               (n = k)           1+f(n,k-1)

               (n > k)           f(n-k,k)+f(n,k-1); 

代码示例