JZOJ 5409【NOIP2017提高A组集训10.21】Fantasy（主席树版）

题目

给定一个长度为N的序列，选择前k大的子串，问前k大的子串之和。
区间长度在[L,R]之间。

题解

题目给的条件：
①选择的是k个区间。
②选择前k大的。
③区间长度有限制。
要求什么：
问前k大的子串之和（区间受限制之后的）。
问题来了：怎么确定这个区间值是第几大？——>对于这种不确定具体排名的序列，我们可以进行二分。
二分出来一个区间值mid，求长度在[L,R]的区间值>=mid的区间个数k’，
比较k’和k进行二分。
假设要打暴力怎么做？
枚举右端点i,则左端点j∈[i−R,i−L]。即求sum[i]−sum[j]>=mid的区间个数k’。
那么怎么尽快读取出每一个区间的具体信息呢？
一定会想到用数据结构存储吧，那么可以使用主席树。每次增加sum[i]进主席树里面。
进行差分就可以得到每一个区间的具体信息了。
但是因为j的不同，sum[i]−sum[j]也不一样。这棵主席树是权值线段树，怎么在树上找到每个区间的值所在的点？
这个我做不到。
考虑移项。将不等式变为sum[i]−mid>=sum[j]。每次查询在(i-L)-(i-R)这棵树中范围在∈(−∞,sum[i]−mid)元素的个数。
这样可以将被查询的范围变成一个定区间。
这样就找出了第k大的区间值。
接下来考虑统计答案。（设第k大的区间值为mid）
问题：①区间排名的无序性。②区间值具体性。
对于①，显然不必考虑。因为之后查询的区间值大于mid的区间个数k’一定≤k。
对于②，枚举i，确定j的范围，查询在(i-L)-(i-R)这棵树中范围在∈(−∞,sum[i]−mid)元素的个数即可。

总结

①建树之后考虑什么:
⑴维护;
⑵查询(本题中主要考虑查询的区间);
(⑶修改(本道题不用考虑这个))
②若题目要求考虑多个区间，使用数据结构查询的时候，尽量将要查询的范围变为定区间。
③区间长度受限制，那么被计入答案的区间值也受到了限制，如何突破这一限制：
一般时间复杂度为O(n log n)。
枚举左/右端点的其中一个，二分另一个端点。

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cmath>#include<cstring>#define N 100010#define M 1010#define MAXN 1000000000#define LL long long#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)using namespace std;struct note{    LL sum,ls,rs;};note tr[N*50];LL i,j,k,l,r,len,n,m,tot,ans,x,temp,temp1,cnt;LL a[M*M],val[N],sum[N];LL rt[N];LL L,R,MID;LL read(){    LL res=0,fh=1;char ch;    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();    if(ch=='-')fh=-1,ch=getchar();    while(ch>='0'&&ch<='9')res=res*10+ch-'0',ch=getchar();    return res*fh;}void ins(LL px,LL py,LL l,LL r,LL x){    tr[px]=tr[py];    tr[px].sum=tr[py].sum+1;    if(l==r)return;    LL wz=(l+r)/2;    if(x<=wz){tr[px].ls=++tot;ins(tr[px].ls,tr[py].ls,l,wz,x);}         else{tr[px].rs=++tot;ins(tr[px].rs,tr[py].rs,wz+1,r,x);}}LL find(LL px,LL py,LL l,LL r,LL x,LL y){    LL wz=(l+r)/2;    if(l==x && r==y)return tr[px].sum-tr[py].sum;    if(l>y||r<x)return 0;    if(tr[px].sum-tr[py].sum==0)return 0;    if(y<=wz)find(tr[px].ls,tr[py].ls,l,wz,x,y);else    if(x>wz)find(tr[px].rs,tr[py].rs,wz+1,r,x,y);else    return find(tr[px].ls,tr[py].ls,l,wz,x,wz)+find(tr[px].rs,tr[py].rs,wz+1,r,wz+1,y);}LL check(LL x){    LL i,temp,res=0;    fo(i,l,n){        temp=sum[i]-x;        res+=find(rt[i-l+1],rt[max((LL)0,i-r)],1,2*MAXN+1,1,temp+MAXN+1);        if(res>=k)break;    }    return res;}void search(LL px,LL py,LL l,LL r,LL x,LL y){    if(l>y||r<x)return;    if(cnt==k)return;    if(tr[px].sum-tr[py].sum==0)return;    if(l==r){        cnt+=tr[px].sum-tr[py].sum;        ans+=(temp1-(l-MAXN-1))*(tr[px].sum-tr[py].sum);        return;    }    LL wz=(l+r)/2;    search(tr[px].rs,tr[py].rs,wz+1,r,x,y);    if(cnt==k)return;    search(tr[px].ls,tr[py].ls,l,wz,x,y);}int main(){    freopen("fantasy.in","r",stdin);    freopen("fantasy.out","w",stdout);    n=read();k=read();l=read();r=read();    fo(i,1,n)val[i]=read(),sum[i]=sum[i-1]+val[i];    fo(i,1,n)ins(rt[i]=++tot,rt[i-1],1,2*MAXN+1,sum[i-1]+MAXN+1);    ins(rt[n+1]=++tot,rt[n],1,2*MAXN+1,sum[n]+MAXN+1);    L=-MAXN,R=MAXN;    while(L<R){        if(L==R-1){            if(check(R)>=k) L=R;            break;        }        MID=(L+R)/2;        if(check(MID)>=k) L=MID;else x=MID,R=MID-1;    }    x=(L+R)/2;    cnt=0;ans=0;    fo(i,l,n){        if(cnt==k)break;        temp=(sum[i]-x)-1;        temp1=sum[i];        search(rt[i-l+1],rt[max((LL)0,i-r)],1,2*MAXN+1,1,temp+MAXN+1);    }    ans+=(k-cnt)*x;    printf("%lld",ans);    return 0;}