欧拉角EulerAngle

欧拉角

欧拉角使用三个值（xyz）组成的旋转序列表示角位移，这三个值分别为绕三个互相垂直轴（《3D数学基础》说这三个轴互相垂直，但我觉得不太严谨，毕竟还有万向锁一说）的旋转角度。各坐标体系中旋转序列的组合方式可能不同。常用的是heading-pitch-bank（y-x-z）约定，按顺序旋转heading角、pitch角、bank角（下文详细说明）。

优点：表达方式直观简洁，易于使用，内存占用少。
缺点：表达方式不唯一（对于同一个角位移可以使用无数多的欧拉角表示，这会导致某些简单的角位移比较问题都很难回答，如两个欧拉角表示的角位移是否相同）。可以通过限制欧拉角解决。

heading-pitch-bank约定：

1. 先将物体坐标系与惯性坐标系重合
2. heading绕此时物体坐标系的y轴旋转
3. pitch绕heading旋转后的物体坐标系的x轴旋转
4. bank绕heading-pitch旋转后的物体坐标系的z轴旋转

如图，红绿蓝分别代表xyz轴，带箭头的线是物体坐标系，我也画了三条辅助线（长的）便于观察实际旋转轴：
初始时，物体坐标系与世界坐标系方向一致，实际旋转轴与物体坐标系方向一致：

heading45°后，实际旋转轴xz改变，y不变

pitch45°后，实际旋转轴z改变，xy不变

bank45°后，实际旋转轴xyz都不变

可以看出heading-pitch-bank约定并不是单纯的绕父坐标系或自身坐标系的x、y、z轴旋转，物体绕实际旋转y轴旋转后才能确定实际旋转x轴，绕实际旋转x轴旋转后才能确定实际旋转z轴。heading影响pitch和bank，pitch只影响bank，bank谁都不影响。

限制欧拉角

限制heading和bank在[-180°，180°]之间，pitch在[-90°,90°]之间。但是还有万向锁问题。

万向锁问题

欧拉角最著名的别名问题：先heading45°再pitch90°和先pitch90°再bank45°是等价的。
这由于pitch±90°度后，heading的旋转轴和bank的旋转轴会在同一平面，导致heading和bank等价（或方向相反）。解决方法是在限制欧拉角中，如果pitch为±90°，则bank强制为0°，这样bank的旋转也由heading来完成。