欧拉角

 欧拉角来描述刚体在三维欧几里得空间的取向。对于任何参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。 为欧拉首先提出而得名。

    它们有多种取法，下面是常见的一种。如图所示，由定点O作出固定坐标系Oxyz和固定于刚体的动坐标系Ox′y′z′。以轴Oz和Oz′为基本轴，其垂直面Oxy和Ox′y′为基本平面。 

    由轴Oz量到Oz′的角θ称章动角。平面zOz′的垂线ON称节线，它又是基本平面Ox′y′和Oxy的交线。在右手坐标系中，由ON的正端看，角θ应按逆时针方向计量。由固定轴Ox量到节线ON的角ψ称旋进角；由节线ON量到动轴Ox′的角φ称自转角。由轴Oz和Oz′正端看，角ψ和φ 也都按逆时针方向计量。  若令Ox′y′z′的初始位置与Oxyz重合，经过相继绕Oz、ON和Oz′的三次转动后，刚体将转到图示的任意位置。

    对于夹角的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有任何常规。不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述，或用不同的名字表示同样的欧拉角。因此，使用欧拉角前，必须先做好明确的定义。

 在刚体的问题上，xyz 坐标系是全局坐标系， XYZ 坐标系是局部坐标系。全局坐标系是不动的；而局部坐标系牢嵌于刚体内。称 xy-平面与 XY-平面的相交为交点线，用英文字母（N）代表。α 是 x轴与交点线的夹角，β 是 z-轴与Z轴的夹角，γ 是交点线与X轴的夹角。

 我们也可以给予欧拉角两种不同的动态定义。一种是绕着固定于刚体的坐标轴的三个旋转的复合；另外一种是绕着实验室参考轴的三个旋转的复合。

（ 1 ) 绕着 XYZ 坐标轴旋转：最初，两个坐标系统xyz 与 XYZ 的坐标轴都是重叠的。开始先绕着 Z-轴旋转 α 角值。然后，绕着 X-轴旋转β 角值。最后，绕着 Z-轴作角值 γ 的旋转。

（ 2 ) 绕着 xyz 坐标轴旋转：最初，两个坐标系统 xyz 与 XYZ 的坐标轴都是重叠的。开始先绕着 z-轴旋转 γ角值。然后，绕着 x-轴旋转β 角值。最后，绕着 z-轴作角值α的旋转。

    

    关于欧拉角讲到这里就差不多了，下面来探讨一个和欧拉角有关的概念----万向节死锁（Gimbal Lock）。

    万向节死锁有时又被简称为万向节锁或者万向锁，是指当三个万向节其中两个的轴发生重合时，会失去一个自由度的情形。

    下面的视频很好的说明了这一点。

正因万向节死锁的存在，使用欧拉角是无法实现球面平滑插值的。顺便提一下解决方法，可以使用四元数球面线性插值(Slerp)。