欧拉角

来源：互联网发布：windows live香港官网编辑：程序博客网时间：2024/05/02 00:09

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方向余弦矩阵 $A$ 足以设定附体参考系B的取向。但是，矩阵 $A$ 有九个元素，而刚体只能供给三个自由度来设定取向，因为这九个元素不是自变量。欧拉角的三个自变量可以用来设定刚体的取向。

相对于空间参考系S，附体参考系B的取向，可以用三个欧拉角来设定。参阅右图。设定xyz-轴为空间参考系S的坐标轴，XYZ-轴为附体参考系B的坐标轴。称xy-平面与XY-平面的相交为“交点线”，用英文字母（N）代表。按照“zxz顺规”，欧拉角可以这样定义：

$\alpha$ 是x-轴与交点线（N）之间的夹角，
$\beta$ 是z-轴与Z-轴之间的夹角，
$\gamma$ 是交点线（N）与X-轴之间的夹角。

每一个欧拉角的旋转都对应于一个简单的旋转矩阵：

$A_{\alpha}= \begin{bmatrix}\cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\-\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 、

$A_{\beta}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & \cos \beta & \sin \beta \\0 & -\sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix}$ 、

$A_{\gamma}= \begin{bmatrix}\cos \gamma & \sin \gamma & 0 \\-\sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 。

设定刚体取向的旋转矩阵 $A$ 是由三个简单旋转矩阵 $A_{\alpha}$ 、 $A_{\beta}$ 、 $A_{\gamma}$ 共同合成：

$A=A_{\gamma}A_{\beta}A_{\alpha}$ 。

单独分开工作，每个矩阵各自代表一种旋转。按照顺序相乘，

最里面的（最右的）矩阵代表绕着z轴的旋转。
最外面的（最左的）矩阵代表绕着Z轴的旋转。
在中间的矩阵代表绕着交点线的旋转。

经过一番运算，可以得到 $A$ 矩阵：^[2]

$A= \begin{bmatrix}\cos\alpha\cos\gamma-\cos\beta\sin\alpha\sin\gamma & \sin\alpha\cos\gamma+\cos\beta\cos\alpha\sin\gamma & \sin\beta\sin\gamma\\-\cos\alpha\sin\gamma-\cos\beta\sin\alpha\cos\gamma & -\sin\alpha\sin\gamma+\cos\beta\cos\alpha\cos\gamma & \sin\beta\cos\gamma\\ \sin\beta\sin\alpha & -\sin\beta\cos\alpha & \cos\beta\end{bmatrix}$ 。

$A$ 的逆矩阵是：

$A^{-1}= \begin{bmatrix}\cos\alpha\cos\gamma-\cos\beta\sin\alpha\sin\gamma & -\cos\alpha\sin\gamma-\cos\beta\sin\alpha\cos\gamma & \sin\beta\sin\alpha\\ \sin\alpha\cos\gamma+\cos\beta\cos\alpha\sin\gamma & -\sin\alpha\sin\gamma+\cos\beta\cos\alpha\cos\gamma & -\sin\beta\cos\alpha\\ \sin\beta\sin\gamma & \sin\beta\cos\gamma & \cos\beta\end{bmatrix}$ 。

欧拉旋转定律

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