第二类Stirling数
来源:互联网 发布:小米擦除数据 编辑:程序博客网 时间:2024/04/26 21:55
Ⅴ.第二类Stirling数
在五类典型的递推关系中,第二类Stirling是最不为大家所熟悉的。也正因为如此,我们有必要先解释一下什么是第二类Strling数。
【定义2】n个有区别的球放到m个相同的盒子中,要求无一空盒,其不同的方案数用S(n,m)表示,称为第二类Stirling数。
下面就让我们根据定义2来推导带两个参数的递推关系——第二类Stirling数。
解:设有n个不同的球,分别用b1,b2,……bn表示。从中取出一个球bn,bn的放法有以下两种:
①bn独自占一个盒子;那么剩下的球只能放在m-1个盒子中,方案数为S2(n-1,m-1);
②bn与别的球共占一个盒子;那么可以事先将b1,b2,……bn-1这n-1个球放入m个盒子中,然后再将球bn可以放入其中一个盒子中,方案数为mS2(n-1,m)。
综合以上两种情况,可以得出第二类Stirling数定理:
【定理】S2(n,m)=mS2(n-1,m)+S2(n-1,m-1) (n>1,m>1)
边界条件可以由定义2推导出:
S2(n,0)=0;S2(n,1)=1;S2(n,n)=1;S2(n,k)=0(k>n)。
第二类Stirling数在竞赛中较少出现,但在竞赛中也有一些题目与其类似,甚至更为复杂。读者不妨自己来试着建立其中的递推关系。
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