HDU 2065 "红色病毒"问题 递推题 (2011-1-1 16:39)

HDU 2065 "红色病毒"问题 递推题

2010-02-04 16:39

AC code：

#include <stdio.h>
int main()
{
    int t,i;
    _int64 n;
    int a[23]={0,2,6,20,72,72,56,60,12,92,56,0,52,12,56,40,92,32,56,80,32,52,56};
    int b[20]=      {20,72,72,56,60,12,92,56,0,52,12,56,40,92,32,56,80,32,52,56};
    while (scanf("%d",&t)!=EOF)
    {
        if (t==0)
            return 0;
        for (i=1;i<=t;i++)
        {
            scanf("%I64d",&n);
            if (n<=22)
                printf("Case %d: %d\n",i,a[n]);
            else 
            {
                n=(n-3)%20;
                printf("Case %d: %d\n",i,b[n]);
            }
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

问题分析
Problem Analyse 递推题 
如果没有任何条件限制，A、B、C、D组成长度为n的字符串，其个数应该为:4n。

因为有了A、C需要出现偶数次的要求，就出现合法和不合法的不同分组。
在不合法的组里，又有
1.A出现奇数次、C出现偶数次；
2.C出现奇数次、A出现偶数次；
3.A出现奇数次、C出现奇数次；
三种情况。

我们用数组
f[n][0]保存长度为n，合法的字符串的个数。
f[n][1]保存长度为n，仅A出现奇数次的字符串的个数。
f[n][2]保存长度为n，仅C出现奇数次的字符串的个数。
f[n][3]保存长度为n，A、C出现奇数次的字符串的个数。

f[n][0]
长度为n-1的合法字符串在末尾加上一个B或者D，都可以变成长度为n的合法字符串。
长度为n-1的仅A出现奇数次的字符串再在末尾加上一个A，也可以变成合法字符串。
长度为n-1的仅C出现奇数次的字符串再在末尾加上一个C，也可以变成合法字符串。
所以，f[n][0] = 2 × f[n-1][0] + f[n-1][1] + f[n-1][2];

f[n][1]
长度为n-1的合法字符串在末尾加上A，都可以变成长度为n的仅A出现奇数次的字符串。
长度为n-1的仅A出现奇数次的字符串再在末尾加上一个B或者D，也可以变成仅A出现奇数次的字

符串。
长度为n-1的A、C出现奇数次的字符串再在末尾加上一个C，也可以变成仅A出现奇数次的字符串

。
所以，f[n][1] = 2 × f[n-1][1] + f[n-1][0] + f[n-1][3];

f[n][2]
长度为n-1的合法字符串在末尾加上C，都可以变成长度为n的仅C出现奇数次的字符串。
长度为n-1的仅C出现奇数次的字符串再在末尾加上一个B或者D，也可以变成仅C出现奇数次的字

符串。
长度为n-1的A、C出现奇数次的字符串再在末尾加上一个A，也可以变成仅C出现奇数次的字符串

。
所以，f[n][2] = 2 × f[n-1][2] + f[n-1][0] + f[n-1][3];

f[n][3]
长度为n-1的A、C出现奇数次的字符串在末尾加上一B或者D，都可以变成长度为n的A、C出现奇数

次的字符串。
长度为n-1的仅A出现奇数次的字符串再在末尾加上一个C，也可以变成A、C出现奇数次的字符串

。
长度为n-1的仅C出现奇数次的字符串再在末尾加上一个A，也可以变成A、C出现奇数次的字符串

。
所以，f[n][3] = 2 × f[n-1][3] + f[n-1][1] + f[n-1][2];

综上所述，我们得到:
f[n][0] = 2 × f[n-1][0] + f[n-1][1] + f[n-1][2]; ①
f[n][1] = 2 × f[n-1][1] + f[n-1][0] + f[n-1][3]; ②
f[n][2] = 2 × f[n-1][2] + f[n-1][0] + f[n-1][3]; ③
f[n][3] = 2 × f[n-1][3] + f[n-1][1] + f[n-1][2]; ④

f[1][0] = 2
f[1][1] = 1
f[1][2] = 1
f[1][3] = 0

发现f[1][1]与f[1][2]初始状态相同，而且以后迭代方程也相同，所以f[n][1] = f[n][2]
又有f[n][0] + f[n][3] = f[n][1] + f[n][2]
∵f[n][0] + f[n][1] + f[n][2] + f[n][3] = 4n
∴f[n][0] + f[n][3] = f[n][1] + f[n][2] = 2 × 4n-1
∴f[n-1][1] + f[n-1][2] = 2 × 4n-2
∴f[n][0] = 2 × f[n-1][0] + f[n-1][1] + f[n-1][2] = 2 × f[n-1][0] + 2 × 4n-2

我们得到:
f[n][0] = 2 × f[n-1][0] + 22n-3
f[n-1][0] = 2 × f[n-2][0] + 22n-5
┋
f[n-m][0] = 2 × f[n-m-1][0] + 22n-2m-3
┋
f[2][0] = 2 × f[1][0] + 21
f[1][0] = 2

开始一层层往下迭代:
f[n][0]
= 2 × f[n-1][0] + 22n-3
= 22 × f[n-2][0] + 22n-4 + 22n-3
┋
= 2m × f[n-m][0] + 22(n-m)-1+m-1 + ... + 22n-3
= 2n-1 × f[1][0] + 2n-1 + 2n +... + 22n-3
f[1][0] = 2;

∴f[n][0] = 2n + 2n-1 + 2n +... + 22n-3 = 22n-2 + 2n-1

算法实现

Programing 公式得到了:f(n) = 22n-2 + 2n-1
但就这样直接编程那是不可能实现的，因为n的范围1≤N<264
怎么的范围，是不能求出f(n)的。所以还得找其他规律。
因为题目只要求输出最后2位数，我们依次输出2的n的最后两位看看...
20 -> 1
21 -> 2
22 -> 4
23 -> 8
24 -> 16
25 -> 32
26 -> 64
27 -> 28
28 -> 56
29 -> 12
210 -> 24
211 -> 48
212 -> 96
213 -> 92
214 -> 84
215 -> 68
216 -> 36
217 -> 72
218 -> 44
219 -> 88
220 -> 76
221 -> 52
222 -> 4
到了222时，末尾2位又变成4，与22一样，这时候就进入了一个循环了(每20个一次循环)。
所以，结果只能是这22个中的一个。只有n=0 和 n=1是需要特殊考虑的。其他n就等于2(n-2) %

20 + 2的值了。

原题：

"红色病毒"问题

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)     Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 1040     Accepted Submission(s): 408

Problem Description

医学界发现的新病毒因其蔓延速度和Internet上传播的"红色病毒"不相上下,被称为"红色病毒",经研究发现,该病毒及其变种的DNA的一条单链中,胞嘧啶,腺嘧啶均是成对出现的。
现在有一长度为N的字符串,满足一下条件:
(1) 字符串仅由A,B,C,D四个字母组成;
(2) A出现偶数次(也可以不出现);
(3) C出现偶数次(也可以不出现);
计算满足条件的字符串个数.
当N=2时,所有满足条件的字符串有如下6个:BB,BD,DB,DD,AA,CC.
由于这个数据肯能非常庞大,你只要给出最后两位数字即可.

Input

每组输入的第一行是一个整数T,表示测试实例的个数,下面是T行数据,每行一个整数N(1<=N<2^64),当T=0时结束.

Output

对于每个测试实例,输出字符串个数的最后两位,每组输出后跟一个空行.

Sample Input

41420113142460

Sample Output

Case 1: 2Case 2: 72Case 3: 32Case 4: 0Case 1: 56Case 2: 72Case 3: 56

Author

Rabbit

Source

RPG专场练习赛

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