错位排列

                                    错位排列

离散数学如是解释：

错位排列 的计数问题。 有N个人在参加晚会时寄存了自己的帽子。可是保管人忘记放寄存号，当每个人领取帽子时，他只能随机选择一顶帽子交给寄存的人。问在N！中领取帽子的方式中有多少种方式使得每个人都没有领到自己的帽子？此后省略证明的一堆字，有兴趣的自己维基。下面给出错排公式：

一、Dn = N![1- 1/1! + 1/2! - ....... +(-1)^n * 1/n!] 

二、Dn = [n!/e + 0.5]

 

先给出裸的错排题吧，你可以先熟悉一下错排如何用程序实现。

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#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int N = 25;__int64 d[N] = {0,0,1};void Init()  {    for(int i = 3;i < N;++i){ //错排计算       d[i] = (i-1)*(d[i-1] + d[i-2]);    }}int main(){    Init();    int n;    while(~scanf("%d",&n))    {        printf("%I64d\n",d[n]);    }    return 0;}

 

 

 

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思路分析：

     其实，我一开始也没想明白为什么这题可以直接错排加组合直接出结果。想了一会才知道，原来是运用了反向思维。我就直接以该题分析吧。就是如果们假设m个人没有被正确的对上名字，这就说明n-m个人是被正确的对上名字的。所以我们可以选出小于n/2个人没选对的就可以了，反面不就是说面了大于n/2的人是对上了正确名字的。oK,解释就这么多。但是这题还要有一定的数论基础，即，不仅懂得错排的求法和组合数的求法，还要懂得如何用公式来求解。表示本人一开始也不会。囧！！

 

#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int N = 30;__int64 a[N],c[N][N];void Init(){    a[1] = 0,a[2] = 1;    for(int i = 3;i < N;++i){       a[i] = (i-1)*(a[i-1]+a[i-2]);    }    c[1][0] = c[1][1] = 1;     for(int i = 2;i < N;++i){        c[i][0] = c[i][i] = 1;       for(int j = 1;j < i;++j)          c[i][j] = c[i-1][j] + c[i-1][j-1];    }}int main(){    Init();    int n;    while(scanf("%d",&n),n)    {        __int64 ans = 1;        for(int i = 0;i <= n/2;++i)            ans += c[n][i]*a[i];        printf("%I64d\n",ans);    }    return 0;}