【NOIP2008】传纸条解题报告-双线程dp||最大费用最大流

传纸条（一）

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难度：5

描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。 

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-1000的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入

第一行输入N(0<N<100)表示待测数据组数。
每组测试数据输入的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（2<=m,n<=50）。 
接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度（不大于1000）。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出

每组测试数据输出共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。 

样例输入

13 30 3 92 8 55 7 0

样例输出

34

来源

NOIP2008

经典的双线程dp问题，网上结题报告也很多了，我把两份代码都实现一下：(双线程dp&&费用流)

首先考虑，一个人从矩阵左上角到右下角所能获得的最大值，这个方程很容易想到，就是

dp[i][j]=std::max(dp[i][j-1],dp[i-1][j])+a[i][j];

现在是先从左上到右下，再从右下到左上，我们可以这样考虑，让两个人直接从左上角出发，选择两条不同路径到右下即可。

可以用一个四维的状态表示这个过程f(i,j,i',j');

显然，状态方程就是:dp[i][j]=max(dp[i][j-1][i'-1][j'],dp[i-1][j][i'-1][j'],dp[i][j-1][i'][j'-1],dp[i-1][j][i'][j'-1])+a[m][n];

四维的时间复杂度可能过高了，在这儿有个优化的trick，可以考虑下，因为两个人同时走，所以无论何时都有i+j=i'+j';设为step，方程就简化为f(i,i',step)；

此时状态方程应该是：

dp[step][i][i']=max(dp[step-1][i][i'],dp[step-1][i-1][i'],dp[step-1][i][i'-1],dp[step-1][i-1][i'-1])

费用流的写法明天再写吧

未优化的Code：两个代码效率差了8倍多。

优化后的Code：

费用流版本：