[POJ 1637]Sightseeing tour[混合图欧拉回路]

题目链接：[POJ 1637]Sightseeing tour[混合图欧拉回路]

题意分析：

在一个有着单向边和双向边的图中，问：是否存在欧拉回路？（题目保证图连通）

解题思路：

欧拉回路的特点是：图中的所有点入度等于出度。然而这题多了个无向边。

我们可以考虑把无向边当成：能够随意变向的有向边。初始的时候，随意给无向边一个方向。

所以我们得到了一个弱化的初始判断条件：当某个点出度-入度！=偶数时，必然不存在欧拉回路。

接着考虑如何详细判断满足弱化条件的图是否含有欧拉回路：

此时回到欧拉回路的判定规则上，由于能够对无向边进行任意的变向，那么问题就转换成了：是否存在一种方案，给无向边规定方向后，使得整张图中的每个结点入度等于出度。

对于不满足条件的顶点，我们只需要更改abs(入度-出度) / 2条边的方向即可让其满足条件。

考虑如下建图：令x = abs(入度-出度) / 2，让源点和出度大于入度的点连一条容量为x的边，让汇点和入度大于出度的边连一条容量为x的边，其余点间如果是无向边则连一条容量为1的边，那么，如果最终最大流等于所有初始流量之和（即：图中所有点都满足入度等于出度了），则存在欧拉回路。

这么建图的正确性何在？

首先明确一点：有向图中入度和=出度和，由此：入度和+出度和是个定值。

考虑图中的任意一条路径src->v1->v2->v3->des，将路径上的边全部反向，对于无关点V2来说，出度仍然等于入度，对于V1来说，出度减1入度加1，对V3来说，出度加1，入度减1。如果图满流的话，那么所有的出度大于入度的点都会趋于平衡，而由于入度+出度是个定值，必然的，由于无关点度数不便，所有入度大于出度的顶点也会趋于平衡。所以只需要判断是否满流即可。

个人感受：

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具体代码如下：

#include<algorithm>#include<cctype>#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstring>#include<iomanip>#include<iostream>#include<map>#include<queue>#include<set>#include<sstream>#include<stack>#include<string>#define pr(x) cout << #x << " = " << (x) << '\n';using namespace std;const int MAXN = 500;//点数的最大值const int MAXM = 4e3;//边数的最大值const int INF = 0x3f3f3f3f;struct Edge{    int to,next,cap,flow;}edge[MAXM];//注意是MAXMint tol;int head[MAXN];int gap[MAXN],dep[MAXN],cur[MAXN];void addedge(int u,int v,int w,int rw = 0){    edge[tol].to = v; edge[tol].cap = w; edge[tol].flow = 0;    edge[tol].next = head[u]; head[u] = tol++;    edge[tol].to = u; edge[tol].cap = rw; edge[tol].flow = 0;    edge[tol].next = head[v]; head[v] = tol++;}int Q[MAXN];void BFS(int start,int end){    memset(dep,-1,sizeof(dep));    memset(gap,0,sizeof(gap));    gap[0] = 1;    int front = 0, rear = 0;    dep[end] = 0;    Q[rear++] = end;    while(front != rear)    {        int u = Q[front++];        for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)        {            int v = edge[i].to;            if(dep[v] != -1)continue;            Q[rear++] = v;            dep[v] = dep[u] + 1;            gap[dep[v]]++;        }    }}int S[MAXN];int sap(int start,int end,int N){    BFS(start,end);    memcpy(cur,head,sizeof(head));    int top = 0;    int u = start;    int ans = 0;    while(dep[start] < N)    {        if(u == end)        {            int Min = INF;            int inser;            for(int i = 0;i < top;i++)            if(Min > edge[S[i]].cap - edge[S[i]].flow)            {                Min = edge[S[i]].cap - edge[S[i]].flow;                inser = i;            }            for(int i = 0;i < top;i++)            {                edge[S[i]].flow += Min;                edge[S[i]^1].flow -= Min;            }            ans += Min;            top = inser;            u = edge[S[top]^1].to;            continue;        }        bool flag = false;        int v;        for(int i = cur[u]; i != -1; i = edge[i].next)        {            v = edge[i].to;            if(edge[i].cap - edge[i].flow && dep[v]+1 == dep[u])            {                flag = true;                cur[u] = i;                break;            }        }        if(flag)        {            S[top++] = cur[u];            u = v;            continue;        }        int Min = N;        for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)            if(edge[i].cap - edge[i].flow && dep[edge[i].to] < Min)            {                Min = dep[edge[i].to];                cur[u] = i;            }        gap[dep[u]]--;        if(!gap[dep[u]]) return ans;        dep[u] = Min + 1;        gap[dep[u]]++;        if(u != start)u = edge[S[--top]^1].to;    }    return ans;}int in[MAXN], out[MAXN];void init() {    tol = 0;    memset(head,-1,sizeof(head));    memset(in, 0, sizeof in);    memset(out, 0, sizeof out);}int main(){    #ifdef LOCAL    freopen("C:\\Users\\apple\\Desktop\\in.txt", "r", stdin);    #endif    for (int kk, kase = scanf("%d", &kk); kase <= kk; ++kase) {        init();        int n, m, u, v, id;        scanf("%d%d", &n, &m);        while (m --) {            scanf("%d%d%d", &u, &v, &id);            ++out[u];            ++in[v];            if (!id)                addedge(u, v, 1);        }        bool flag = 0;        int src = 0, des = n + 1, sum = 0;        for (int i = 1; i <= n; ++i) {            out[i] -= in[i];            if (out[i] % 2 != 0) {                flag = 1;                break;            }            out[i] /= 2;            if (out[i] > 0) {                addedge(src, i, out[i]);                sum += out[i];            }            else if (out[i] < 0)                addedge(i, des, -out[i]);        }        if (flag) {            printf("impossible\n");            continue;        }        if (sum == sap(src, des, des + 1)) printf("possible\n");        else printf("impossible\n");    }    return 0;}