poj -- 1637 Sightseeing tour(混合图欧拉回路)

给一个n个顶点，m条边（既有有向边又有无向边）。求图中是否存在欧拉回路。

http://poj.org/problem?id=1637

用最大流求解。

把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。
现在每个点入度和出度之差均为偶数。将这个偶数除以2，得x。即是说，对于每一个点，只要将x条边反向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。
现在的问题就变成了：该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。有向边不能改变方向，所以不用考虑（在求出度和入度时是要考虑的）。开始已定向的无向边，定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u，连接边(u, t)、容量为x，对于出 > 入的点v，连接边(s, v)，容量为x（注意对不同的点x不同。）。之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。查看流值分配，将所有流量非 0（上限是1，流值不是0就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。
由于是满流，所以每个入 > 出的点，都有x条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么，没和s、t连接的点怎么办？和s连接的条件是出 > 入，和t连接的条件是入 > 出，那么这个既没和s也没和t连接的点，自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。
所以，就这样，混合图欧拉回路问题，解了。

//#pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000")#include <map>#include <set>#include <cmath>#include <queue>#include <stack>#include <cstdio>#include <string>#include <vector>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long ll;typedef pair<int, int> PII;#define pb push_back#define MP make_pair#define lson l, m, rt << 1#define rson m + 1, r, rt << 1 | 1const double eps = 1e-6;const int inf = 0x3f3f3f3f;const int mod = 1000000007;const int maxn = 500000 + 10;///init是初始化要在加边之前初始化，然后调用max_flow(顶点数，边数，源点， 汇点)const int maxv = 200 + 10;///顶点个数const int maxe = 10000 + 10;///边数struct node{    int v, cap, next;}edge[maxe];int head[maxv], cnt;int n, m;///n是节点个数，m是边数int st, ed;///st是源点，ed是汇点int gap[maxv], h[maxv], d[maxv];void addedge(int u, int v, int w){///有向图加边    edge[cnt].v = v; edge[cnt].cap = w; edge[cnt].next = head[u]; head[u] = cnt++;///正向边    edge[cnt].v = u; edge[cnt].cap = 0; edge[cnt].next = head[v]; head[v] = cnt++;///反向边}int dfs(int x, int cost){    if(x == ed) return cost; ///当前节点是汇点，直接返回cost    int can = cost, d, minh = n - 1;    for(int i=head[x]; ~i; i=edge[i].next){        int v = edge[i].v, w = edge[i].cap;        if(w > 0){///如果这条边的容量大于0            if(h[v] + 1 == h[x]){///如果这是允许弧                if(can > w) d = w;///如果当前弧的容量小于之前可增广的容量                else d = can;                d = dfs(v, d);///从v开始可增广的容量为d                ///更新弧的容量和可增广的容量                edge[i].cap -= d;                edge[i ^ 1].cap += d;                can -= d;                if(h[st] >= n) return cost - can;                if(!can) break;///不能再继续增广            }            if(h[v] < minh) minh = h[v];///更新最小标号        }    }    if(can == cost){///如果没有增广...GAP        gap[h[x]]--;        if(gap[h[x]] == 0) h[st] = n;///存在断层，没有增广路了        h[x] = minh + 1;///重新标记，保证下次再访问的时候有流量        gap[h[x]]++;    }    return cost - can;///在这个点之前可以增广的 - 访问这个点之后可以增广的 = 在这个点增广的容量}int max_flow(int N, int M, int source, int sink){///SAP+GAP优化    n = N; m = M;    st = source; ed = sink;    gap[0] = n;///初始有n个节点标号为0    int ret = 0;    while(h[st] < n){        ret += dfs(st, inf);    }    return ret;}void init(){    memset(head, -1, sizeof(head)); cnt = 0;    memset(h, 0, sizeof(h));///h[i]表示i节点的标号    memset(gap, 0, sizeof(gap));///gap[i]表示标号为i的节点个数}int in[maxv], out[maxv];int T, N, M;int main(){    scanf("%d", &T);    while(T--){        scanf("%d%d", &N, &M);        init();        memset(in, 0, sizeof(in));        memset(out, 0, sizeof(out));        int sum = 0, x, bian = 0;        for(int i=0; i<M; i++){            int u, v, w;            scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);            if(w == 0)addedge(u, v, 1), bian++;            in[v]++; out[u]++;        }        bool flag = true;        for(int i=1; i<=N; i++){            x = abs(in[i] - out[i]);            if(x & 1) {flag = false; break;}            if(in[i] > out[i]) addedge(i, N + 1, x / 2), bian++, sum += x / 2;            else if(out[i] > in[i]) addedge(0, i, x / 2), bian++;        }        if(flag && sum == max_flow(N + 2, bian, 0, N + 1)) puts("possible");        else puts("impossible");    }    return 0;}

顺便。。。。

若有向图G存在欧拉回路，则G联通，对于所有顶点入度 = 出度。

若无向图G存在欧拉回路，则G联通，所有顶点度为偶数。