LIS及扩展

来源：互联网发布：三国志11自制武将数据编辑：程序博客网时间：2024/04/29 20:45

（1）LIS

1.题目描述

一个整数数组，求其中最长递增子序列

2.思路1

定义dp[0....n]，dp[i]为从0到i最长递增序列（不一定包含元素a[i]），所以dp[n]就是结果。

因为不必须包含a[i]，那么状态转移方程为：dp[i] = max{dp[j]+1}，a[i]>a[j],j<i; dp[i] = max{dp[j]},a[i]<=a[j]j<i

代码：

int[] a = {80,15,324,45,123};int[] dp = new int[a.length+1];for(int i=1; i<=a.length; i++)dp[i] = 1;for(int i=1; i<=a.length; i++){int maxInclude = 1;int maxNotIn = dp[1];for(int j=1; j<i; j++){if(a[i-1]>a[j-1])maxInclude = Math.max(maxInclude, dp[j]+1);elsemaxNotIn = Math.max(maxNotIn, dp[j]);}dp[i] = Math.max(maxInclude, maxNotIn);}System.out.println(dp[a.length]);

3.思路2

定义dp[0....n]，dp[i]为从0到i最长递增序列（一定包含元素a[i]），所以dp[n]中最大值才是结果。

因为必须包含a[i]，那么状态转移方程为：dp[i] = max{dp[j]+1}，a[i]>a[j],j<i; dp[i] =1,a[i]<=a[j],j<i

代码：

int[] a = {80,15,324,45,123};int[] dp = new int[a.length+1];for(int i=1; i<=a.length; i++)dp[i] = 1;for(int i=1; i<=a.length; i++){int max = 1;for(int j=1; j<i; j++){if(a[i-1]>a[j-1])max = Math.max(max,dp[j]+1);}dp[i] = max;}int longest = 1;for(int x:dp)longest = Math.max(longest, x);System.out.println(longest);

3.记录构成最长子序列的数据

1.思路

对于dp记录的是必须包含a[i]的情况，那么如果dp[i]是最大值，那么i就是递增子序列的最后一个值的下标，又已经子序列长度longest，且前面的数据根据定义必然比a[i]小，所以从i到0遍历，找到longest个比a[i]小的元素即可。由于考虑到正序输出，所以可以使用栈

2.代码

int[] a = {80,15,65,324,45,123};int[] dp = new int[a.length+1];for(int i=1; i<=a.length; i++)dp[i] = 1;for(int i=1; i<=a.length; i++){int max = 1;for(int j=1; j<i; j++){if(a[i-1]>a[j-1])max = Math.max(max,dp[j]+1);}dp[i] = max;}int longest = 1;//记录最长递增子序列的长度int index = 1;//记录递增子序列的最后一个元素的下标for(int i=1; i<=a.length; i++){if(longest<dp[i]){longest = dp[i];index = i;}}System.out.println(longest);//最后一个元素先入栈，并让longest--Stack<Integer> stack = new Stack<Integer>();stack.push(a[index-1]);longest--;//从后向前，找到longest-1个比a[i]小的元素即可for(int i=index-1; i>=0 && longest>0; i--){if(a[i]<a[index-1]){stack.push(a[i]);longest--;}}//顺序打印数据while(!stack.isEmpty())System.out.print(stack.pop()+" ");

（2）扩展：求递增连续子序列

1.思路

由于是求连续的，那么只用和前一个比较即可，可以得出状态转移方程为：dp[i] = dp[i-1]+1，a[i]>a[i-1]；dp[i] = 1，a[i]<=a[i-1]

那么结果就是dp的最大值

2.代码

                int[] a = {80,15,65,324,45,123};int[] dp = new int[a.length+1];for(int i=1; i<=a.length; i++)dp[i] = 1;int longest = 1;for(int i=2; i<=a.length; i++){if(a[i-1]>a[i-1-1])dp[i] = dp[i-1]+1;elsedp[i] = 1;longest = Math.max(longest, dp[i]);}System.out.println(longest);

（2）扩展：求子数组最大和

1.思路

定义dp是包含最后一个元素的子数组和的最大值，那么就有2种情况：1，dp[i-1]<=0，那么肯定a[i]是最大和了 2，dp[i-1]>0，因为必须要加上a[i],那么最大和就是dp[i-1]+a[i]，所以状态转移方程就是：dp[i] = dp[i-1]+a[i]，dp[i-1]>0；dp[i] = a[i]，dp[i-1]<=0

2.代码

int[] a = {1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5};int[] dp = new int[a.length];int maxSum = 0;for(int i=1; i<a.length; i++){if(dp[i-1]<=0)dp[i] = a[i];elsedp[i] = dp[i-1]+a[i];maxSum = Math.max(maxSum, dp[i]);}System.out.println(maxSum);

3.记录构成元素

此情况下，如果dp[i]最大，那么i就是最大子数组结束的下标，因为是连续的，所以下标依次递减，最大和和依次减去a[j]直至等于0即可（如果需要正序，使用栈）

int[] a = {1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5};int[] dp = new int[a.length+1];int maxSum = 0;int endIndex = 0;for(int i=1; i<a.length; i++){if(dp[i-1]<=0)dp[i] = a[i];elsedp[i] = dp[i-1]+a[i];if(maxSum < dp[i]){maxSum = dp[i];endIndex = i;}}System.out.println(maxSum);while(maxSum > 0){System.out.print(a[endIndex]+" ");maxSum = maxSum - a[endIndex];endIndex--;}

4.思路2

从后向前，使用start[i]记录以a[i]为开始的子数组的最大和，dp[i]记录从i到结尾子数组最大和。显然，状态转移方程dp[i] = max{a[i]，start[i-1]+a[i]，dp[i-1]}
代码

int[] a = {1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5};int[] dp = new int[a.length];int[] start = new int[a.length];dp[a.length-1] = a[a.length-1];start[a.length-1] = a[a.length-1];for(int i=a.length-2; i>=0; i--){start[i] = Math.max(a[i], a[i]+start[i+1]);dp[i] = Math.max(dp[i+1], start[i]);}System.out.println(dp[0]);

（3）扩展：求数组中元素和它右边元素差的最大值

1.问题描述

求数组中元素和它右边元素差的最大值，如{2,9，5，8，16，3,15}，最大值为13

2.分析

从后向前，dp[i]记录从i到最后差的最大值，使用min记录从i到最后元素中最小的值，那么状态转移方程就是：dp[i] = a[i]-min，a[i]-min>dp[i-1]；

dp[i] = dp[i-1]，a[i]-min<=dp[i-1]

代码：

int[] a = {2,9,5,8,16,3,15};int[] dp = new int[a.length-1];int min = a[a.length-1]<a[a.length-2]?a[a.length-1]:a[a.length-2];dp[a.length-2] = a[a.length-2]-a[a.length-1];for(int i=a.length-3; i>=0; i--){if(a[i]-min>dp[i+1])dp[i] = a[i]-min;elsedp[i] = dp[i+1];min = Math.max(min, a[i]);}System.out.println(dp[0]);

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