棋盘覆盖问题 分治法的典型应用

为了方便，我这里直接复制了别人的描述：原贴链接

棋盘覆盖

（一）原理介绍

    在一个2^k * 2^k个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其它方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为以特殊棋盘。

    在棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格之外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。

    

    当k>0时，将2^k * 2^k棋盘分割为4个2^(k-1) * 2^(k - 1)子棋盘，如下图所示。特殊方格必位于4个较小子棋盘之一种，其余3个子棋盘中无特殊方格。为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处，如下图所示。从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。递归地使用这种分割，直至棋盘简化为棋盘1*1。

    

    为了更加清楚了解这个原理，下面引用：http://www.ezloo.com/2008/04/chessboard_cover.html

    这里我们用分治法解决该问题。分治法是把一个规模很大的问题分解为多个规模较小的类似的子问题，然后递归地解决所有子问题，最后再由子问题的解决得到原问题的解决。

    【解题思路】//这个思路真的不错，然我一下子就懂了。

    将2^k * 2^k的棋盘，先分成相等的四块子棋盘，其中特殊方格位于四个中的一个，构造剩下没特殊方格的三个字棋盘，将它们中的也假设一个方格为特殊方格。如果是：

    左上角的子棋盘（若不存在特殊方格）：则将该子棋盘右下角的那个方格假设为特殊方格；

    右上角的子棋盘（若不存在特殊方格）：则将该子棋盘左下角的那个方格假设为特殊方格；

    左下角的子棋盘（若不存在特殊方格）：则将该子棋盘右上角的那个方格假设为特殊方格；

    右下角的子棋盘（若不存在特殊方格）：则将该子棋盘左上角的那个方格假设为特殊方格；

    当然，上面四种情况，只可能且必定只有三种成立，那三个假设的特殊方格刚好构成一个L型骨牌，我们可以给它们作上相同的标志。这样四个子棋盘就分别都和原来的大棋盘类似，我们就可以用递归的算法解决了。

    感谢作者哈。

代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int maxn=(1<<11);int A[maxn][maxn],cnt;void solve(int r1,int r2,int c1,int c2,int x,int y){//行列边界和特殊点的坐标    if(r1==r2) return;    int t=cnt++;//用掉一个L板，需要自增１    int tr=(r1+r2)/2,tc=(c1+c2)/2;    //下面就是，原帖中所说的判断特殊点所在的位置，然后分治    if(x<=tc && y<=tr) solve(r1,tr,c1,tc,x,y);    else solve(r1,tr,c1,tc,tc,tr),A[tr][tc]=t;    if(x>tc && y>tr) solve(tr+1,r2,tc+1,c2,x,y);    else solve(tr+1,r2,tc+1,c2,tc+1,tr+1),A[tr+1][tc+1]=t;    if(x<=tc && y>tr) solve(tr+1,r2,c1,tc,x,y);    else solve(tr+1,r2,c1,tc,tc,tr+1),A[tr+1][tc]=t;    if(x>tc && y<=tr) solve(r1,tr,tc+1,c2,x,y);    else solve(r1,tr,tc+1,c2,tc+1,tr),A[tr][tc+1]=t;}int main(){    int n,a,b;    while(cin>>n>>a>>b){        cnt=1;        solve(1,(1<<n),1,(1<<n),b,a);//注意这里是顺序是b和a        A[a][b]=0;        for(int i=1;i<=(1<<n);i++)            for(int j=1;j<=(1<<n);j++)                printf("%d%c",A[i][j],j==(1<<n)? '\n':' ');    }    return 0;}