整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）

题目描述

整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）

思路一：

将每个数转换成字符串，逐个数逐位比较。（较费时费劲）

代码：

    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)    {        int count = 0;        char a[10];        Stringstream ss;        while(n > 0){            ss << n;            ss >> a;            for(int i = 0;i < a.length();i++){                if(a[i] == '1')                    count++;            }            ss.clear();        }        return count;    }

方法二：

    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)    {        int count = 0;        for(long long m = 1;m <= n;m *= 10){            int a = n/m,b = n%m;            count += (a + 8)/10 * m + (a%10 == 1) * (b + 1);        }        return count;        }

方法三：（参考博文：http://www.cnblogs.com/nailperry/p/4752987.html）

找规律。

一、1的数目

编程之美上给出的规律：

1. 如果第i位（自右至左，从1开始标号）上的数字为0，则第i位可能出现1的次数由更高位决定（若没有高位，视高位为0），等于更高位数字X当前位数的权重10i-1。

2. 如果第i位上的数字为1，则第i位上可能出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位影响（若没有低位，视低位为0），等于更高位数字X当前位数的权重10i-1+（低位数字+1）。

3. 如果第i位上的数字大于1，则第i位上可能出现1的次数仅由更高位决定（若没有高位，视高位为0），等于（更高位数字+1）X当前位数的权重10i-1。

二、X的数目

这里的  X∈[1,9] ，因为  X=0  不符合下列规律，需要单独计算。

首先要知道以下的规律：

• 从 1 至 10，在它们的个位数中，任意的 X 都出现了 1 次。
• 从 1 至 100，在它们的十位数中，任意的 X 都出现了 10 次。
• 从 1 至 1000，在它们的百位数中，任意的 X 都出现了 100 次。

依此类推，从 1 至  10 i ，在它们的左数第二位（右数第  i  位）中，任意的 X 都出现了  10 i−1  次。

这个规律很容易验证，这里不再多做说明。

接下来以  n=2593,X=5  为例来解释如何得到数学公式。从 1 至 2593 中，数字 5 总计出现了 813 次，其中有 259 次出现在个位，260 次出现在十位，294 次出现在百位，0 次出现在千位。

现在依次分析这些数据，首先是个位。从 1 至 2590 中，包含了 259 个 10，因此任意的 X 都出现了 259 次。最后剩余的三个数 2591, 2592 和 2593，因为它们最大的个位数字 3 < X，因此不会包含任何 5。（也可以这么看，3<X，则个位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（259）X101-1=259）。

然后是十位。从 1 至 2500 中，包含了 25 个 100，因此任意的 X 都出现了 25×10=250  次。剩下的数字是从 2501 至 2593，它们最大的十位数字 9 > X，因此会包含全部 10 个 5。最后总计 250 + 10 = 260。（也可以这么看，9>X，则十位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（25+1）X102-1=260）。

接下来是百位。从 1 至 2000 中，包含了 2 个 1000，因此任意的 X 都出现了 2×100=200  次。剩下的数字是从 2001 至 2593，它们最大的百位数字 5 == X，这时情况就略微复杂，它们的百位肯定是包含 5 的，但不会包含全部 100 个。如果把百位是 5 的数字列出来，是从 2500 至 2593，数字的个数与百位和十位数字相关，是 93+1 = 94。最后总计 200 + 94 = 294。（也可以这么看，5==X，则百位上可能出现X的次数不仅受更高位影响，还受低位影响，等于更高位数字（2）X103-1+（93+1）=294）。

最后是千位。现在已经没有更高位，因此直接看最大的千位数字 2 < X，所以不会包含任何 5。（也可以这么看，2<X，则千位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（0）X104-1=0）。

到此为止，已经计算出全部数字 5 的出现次数。

总结一下以上的算法，可以看到，当计算右数第  i  位包含的 X 的个数时：

1. 取第  i  位左边（高位）的数字，乘以  10 i−1 ，得到基础值  a 。
2. 取第  i  位数字，计算修正值：
   1. 如果大于 X，则结果为  a+ 10 i−1 。
   2. 如果小于 X，则结果为  a 。
   3. 如果等 X，则取第  i  位右边（低位）数字，设为  b ，最后结果为  a+b+1 。

相应的代码非常简单，效率也非常高，时间复杂度只有  O( log 10 n) 。

代码：

public int NumberOfXBetween1AndN_Solution(int n,int x) {    if(n<0||x<1||x>9)        return 0;    int high,low,curr,tmp,i = 1;    high = n;    int total = 0;    while(high!=0){        high = n/(int)Math.pow(10, i);// 获取第i位的高位        tmp = n%(int)Math.pow(10, i);        curr = tmp/(int)Math.pow(10, i-1);// 获取第i位        low = tmp%(int)Math.pow(10, i-1);// 获取第i位的低位        if(curr==x){            total+= high*(int)Math.pow(10, i-1)+low+1;        }else if(curr<x){            total+=high*(int)Math.pow(10, i-1);        }else{            total+=(high+1)*(int)Math.pow(10, i-1);        }        i++;    }    return total;       }

方法四：

参考剑指offer的递归算法，代码如下：

   int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)    {        // 基本边界，基本参数        if(n<=0) {            return 0;        }        int length = bitsOfInt(n);         // 计算        // 计算第一位数中包含的1的个数        int firstDigit = n / powerBase10(length);        int numsFirstDigit = 0;        if(firstDigit > 1) {            numsFirstDigit = powerBase10(length);        } else {            numsFirstDigit = n%powerBase10(length) + 1;        }        // 计算其他位包含的1的个数        int numsOtherDigits = firstDigit*(length-1)*powerBase10(length-1);         // 递归求低位中包含的所有1的个数        int numsRecursive = NumberOf1Between1AndN_Solution(n%powerBase10(length));         return (numsFirstDigit+numsOtherDigits+numsRecursive);    }         // 求数n是几位数    int bitsOfInt(unsigned int n) {        int bits = 1;        n = n/10;        while(n>0) {            n = n/10;            bits++;        }        return bits;    }         // 求n位数的最小值，即1后面（n-1个0）    int powerBase10(unsigned int n) {        if(n > 0) {            int rlt = 1;            for(int i=0; i<n-1; i++) {                rlt *= 10;            }            return rlt;        } else {            return 0;        }    }