Josephus问题及其推广 分析和算法优化

具体实现请见 http://blog.csdn.net/hnust_V/article/details/51747212
问题 C，D，I: Josephus问题
题目描述
n个人排成一圈，按顺时针方向依次编号1，2，3…n。从编号为1的人开始顺时针”一二”报数，报到m的人退出圈子。这样不断循环下去，圈子里的人将不断减少。最终一定会剩下一个人。试问最后剩下的人的编号。
输入
C,D:每组数据一行，每行一个正整数，代表人数n。 (1 <= n < k)
I:每组数据一行，每行两个正整数，为 n和m。 (1 <= n < k)
//C : k=1000，C,D m=2
//D,I: k=2^31
输出
每组输入数据输出一行, 仅包含一个整数，代表最后剩下的人的编号。

报告：
其中C题是属于数据结构应用范畴的，但是D,I题问题上界表明只能使用数学方法
先给出 C题的利用数据结构模拟法，因为是一个圈，所以考虑到用循环队列
请先实现 数据结构queue 的功能 或 使用C++ 中的STL

Cal(n, Que): //Que 为int型队列         for i=1 to n                 Que.push(i);    //将编号1~n的人放入队列        Count=0        while Que.size() >1 //踢人直到剩余一个                Count = Count +1                 if Count%2=0 //报号为2                    Que.pop(); //踢出                else        //报号为1 则从队列中取出再放入对尾                    a=Que.front()                    Que.pop()                    Que.push(a)         return   Que.front()

可用于C,D的数学写法:
/以下内容引用了<<具体数学>> &1.4 约瑟夫问题 中部分数学知识/
m=2时 :
数学规律1：【是经过严格推导的】
有 f(2n+1)=2f(n)+1 ; f(2n)=2f(n)-1 ; f(1)=1
数学规律 2:【是由规律1所得】
将n表达成二进制 m ，m左循环一位便为答案
利用规律1: //若用C/C++ 请使用long long 实现

Cal(n):    If n=1         return 1    if n%2=0    //偶数n         return Cal(n/2)*2-1    else         return Cal((n-1)/2)*2+1

规律2同样易实现，此处不赘述
/以上内容引用了<<具体数学>> &1.4 约瑟夫问题 中部分数学知识/

但是对于I题 ( 约瑟夫问题的推广 )，解决本题，必须先对约瑟夫问题有根本上的理解
分析：

首先，第一个出圈者编号必定为 m % n

于是变化为

令k = m % n+1,于是图等价为(a),再对k,k+1……k-2 重新标号1~n-1 便为图(b)

我们可以发现前后的标号编号规则，计F(n)为n人组成的圈里编号

---

F(n)                         F(n-1)K                               1K+1                             2K+2                             3....                            ....k-2                             n-1k-1                             n               被剔除

---

很容易得到变化规律:
F(n) = [F(n-1)+k(n)-1] % n
k(n) = m % n + 1 //见上面
重新考虑 n-1人圈，很明显这是一个与n人圈的相同小规模子问题
由此递推下去 n-2,n-3,……,1 人圈是同类问题
而1人圈很明显 F(1)=1 //这货就是剩余者
我们又有序号变化规律（序号的状态转移方程），完全可以一步步推到这货在n人圈里的序号，问题便这样解决了
综上所述
k(n) = m % n + 1
F(n) = [F(n-1)+k(n)-1] % n
F(1)=1
再将k（n）带入式2有
F(n) = [F(n-1)+m % n] % n = [F(n-1)+m] % n
F(1)=1
这便是最终结论，也是I题求解的基础

给出结论两种实现
递归实现:

Cal(n,m):    if n=1        return 1    else         ans = [Cal(n-1,m)+m]%n    if ans=0        ans = n  第0个应当为当前第n个    return ans

递推实现:

Cal(n,m):        ans = 1        for i = 1 to n            ans = (ans+m) %i            if ans = 0                ans = n         return ans

但是！即使O(n)的运算速度仍然不能AC该题，我们需要优化!
/以下算法由大牛们的博客提供了优化方向Orz，但不知具体是那位牛首先提出该优化策略，故此处不提供博客链接/
首先递归算法必然不能使用 //2^31必然会栈溢
考虑在递推上进行优化

对于 ans = (ans+m) %i，如图可以发现当ans+m >= i时，ans即将被取余而不大于i，而当ans+m < i时 （ans+m) %i = ans+m
而 ans+m+m < i+1 仍然成立的话，甚至 ans+x*m < i+x-1都在成立，那么完全可以视为一个从 ans 开始增长的等差数列
令x为满足 ans+x*m < i+x-1的最大值
然后我们直接让ans变为ans+x*m，i直接增到i+x 从而跳过x-1步，得到优化,当然如果 i+x>n 那么ans+(n-(i-1))*m 就应当得解,此时正是第n人圈
那么对于n>m的情况下复杂度仅为O(m),
那么为什么是O（m)? 提示 ：因为每次比m大时总会被对m取余

//给出伪代码请用long long实现Cal(n,m):    ans = 1,i=1    if m = 1        //这里既是优化，也是完善不足->m=1时始终有ans+m>=i         return n;//原理很简单 n个人报1退出，前n-1个都因报1被踢出    while i<=n            if ans+m < i //被优化的部分                x = (i-1-ans)/(m-1)                 if x=0      //这里防止x恰好是m-1的倍数                    x = (i-1-ans)/(m-1)-1;                if i+x > n                     ans = ans + (n+1-i)*m;                    break                else                             ans = ans + x*m                     i = i + x            else    //正常的递推                ans = (ans+m)%i                if ans = 0                     ans = i                     i=i+1    return ans

最后让我们再次膜拜一下大牛们的神一般思路Orz