BZOJ1096: [ZJOI2007]仓库建设 斜率优化DP

1096: [ZJOI2007]仓库建设

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MB

Submit: 3943  Solved: 1737

[Submit][Status][Discuss]

Description

L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到
以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。 

题解：

一看就是一个DP,首先数据规模很大所以估计要用上斜率优化，不管那么多了先写出状态转移方程

f[i]=f[j]+c[i]+(x[i]-x[j+1])*p[j+1]+(x[i]-x[j+1])*p[j+1]+(x[i]-x[j+1])*p[j+1]+...+(x[i]-x[i-1])*p[i-1]

f[i]=f[j]+c[i]+x[i]*(sigma(p[(j+1)~(i-1)])-sigma(p*x[(j+1)-(i-1)])

我们设g[i]=f[i]-c[i]，依旧是拿出来两个元素(j,k)

f[i]=f[j]+c[i]+x[i]*(sigma(p[(j+1)~(i-1)])-sigma(p*x[(j+1)-(i-1)])

f[i]=f[k]+c[i]+x[i]*(sigma(p[(k+1)~(i-1)])-sigma(p*x[(k+1)-(i-1)])

我们可以预处理处来p[i]的前缀和sp[i]，p[i]*x[i]的前缀和px[i]

因为是斜率优化吗，我们比较上述两个式子的大小（我就不写了，直接移项）

当j是比k更优的决策点时: f[j]-f[k]<x[i]*(sp[j]-sp[k])-(px[j]-px[k])

转化一下： (f[j]+px[j]-f[k]-px[k])/(sp[j]-sp[k])<x[i]

我们设g[i]=f[i]+px[i]

原式转化为：(g[j]-g[k])/(sp[j]-sp[k])<x[i]，然后斜率优化就可以了

<pre name="code" class="cpp">#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>#define LL long longusing namespace std;const LL N=1000005;LL xj(LL xa,LL ya,LL xb,LL yb){return xa*yb-ya*xb;}LL n,x[N],p[N],c[N],f[N],g[N],px[N],sp[N],Q[N],h=1,t;int main(){scanf("%lld",&n);for(LL i=1;i<=n;i++){    scanf("%lld%lld%lld",&x[i],&p[i],&c[i]);    px[i]=px[i-1]+p[i]*x[i];    sp[i]=sp[i-1]+p[i];}memset(f,127,sizeof(f));f[0]=0;Q[++t]=0;for(LL i=1;i<=n;i++){while(t-h+1>=2&&(g[Q[h+1]]-g[Q[h]])*1.0/(sp[Q[h+1]]-sp[Q[h]])<x[i]) h++;f[i]=f[Q[h]]+c[i]+x[i]*(sp[i-1]-sp[Q[h]])-(px[i-1]-px[Q[h]]);g[i]=f[i]+px[i];while(t-h+1>=2&&xj(sp[Q[t]]-sp[Q[t-1]],g[Q[t]]-g[Q[t-1]],sp[i]-sp[Q[t]],g[i]-g[Q[t]])<0) t--;Q[++t]=i;}printf("%lld",f[n]);}