基础算法-放苹果
来源:互联网 发布:歌词软件 乐 编辑:程序博客网 时间:2024/05/21 10:09
【问题描述】
把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里,允许有的盘子空着不放,问共有多少种不同的分法?(用K表示)5,1,1和1,5,1 是同一种分法。
【输入】
第一行是测试数据的数目t(0 <= t <= 20)。以下每行均包含二个整数M和N,以空格分开。1<=M,N<=10。
【输出】
对输入的每组数据M和N,用一行输出相应的K。
【问题分析】
放苹果的问题乍看之下很复杂,盘子是一样的,苹果也是一样的;只要每个盘子里面放的苹果是一样多的,不管顺序如何最终得到的都是同一种分法。我属于初学算法,对于算法不熟悉,一遇到问题就会用人的思维去思考问题,我会想着空一个盘子是什么情况,空两个盘子是什么情况,一个盘子都不空又是什么情况。越想脑子越乱,最后就得不到解题方法,但是就目前看的递归算法而言。似乎是因为我想多了,其实我们需要把问题简化。就拿这个放苹果的问题而言,我们只需要分两种情况:有空盘子和没空盘子。
1.有空盘子:f(m,n)=f(m,n-1)//有空盘子很多人会有疑问,这不是只有一个空盘子的情况吗?那2个3个空盘子呢?这就需要递归的思想,随着一步一步的将n换成n-1你就会发现那就是2,3个空盘子的情况。
2.没有空盘子:f(m,n)=f(m-n,n)//没有空盘子,我们可以看成先给每一个盘子放一个苹果,则还剩下m-n个苹果,剩下的问题就是把这m-n个苹果放到n个盘子里的问题了,也许有人会问,m-n个苹果放到n个盘子也会出现空盘子的情况啊,不是和前面的有空盘子重复了?确实,会出现空盘子的情况,但是请注意,他们并不是真的空盘子,因为他们最开始已经放了一个,他们在这里的空代表着这个盘子只有最开始放的一个苹果。
因此:f(m,n)=f(m,n-1)+f(m-n,n) m>=n
上面的表达式并不完整,当m<n时的情况没有考虑,当m<n的时候,肯定最少有n-m个空盘子,不过幸好,这些空盘子并不影响最后的结果,因为每种方法都带有着些空盘子,剩下的问题就是把m个苹果放到m个盘子有多少种方法了。
因此:f(m,n)=f(m,m) m<n
写到这里主要表达式基本上已经写完了,但是递归都需要有结束条件,结束条件并不是很难发现,当只有一个盘子时明显只有一种方法,另外没有苹果和只有一个苹果的时候也只有一种放法。即f(m,n)=1 n=1,m=0
综上:
f(m,n)=1 n=1,m=0
f(m,n)=f(m,m) m<n
f(m,n)=f(m,n-1)+f(m-n,n) m>=n
【代码】
#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;const int maxm=10000;int m[maxm],n[maxm],k[maxm];int putApple(int m,int n);int main(){memset(k,0,sizeof(k));int t;cin>>t;for(int i=1;i<=t;i++){cin>>m[i]>>n[i];}for(int i=1;i<=t;i++){k[i]=putApple(m[i],n[i]);cout<<k[i]<<endl;}} int putApple(int m,int n){if(m==0||n==1) return 1;if(n>m) return putApple(m,m);elsereturn putApple(m,n-1)+putApple(m-n,n);}
【运行结果】
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