欧拉

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数据科学与计算机学院

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目录

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​人物简介

欧拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育。他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过。欧拉是一位数学神童。他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡。欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计75卷。欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果。在他生命的最后7年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。

欧拉的一生很虔诚。然而，那个广泛流传的传说却不是真的。传说中说到，欧拉在叶卡捷琳娜二世的宫廷里，挑战德尼·狄德罗：“先生，因为a+bnn=x；所以上帝存在，请回答！”

欧拉的离世也很特别：在朋友的派对中他中途退场去工作，最后伏在书桌上安静的去了。

欧拉曾任彼得堡科学院教授，柏林科学院的创始人之一。他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人。他认为质点动力学微分方程可以应用于液体（1750）。他曾用两种方法来描述流体的运动，即分别根据空间固定点（1755）和根据确定的流体质点（1759）描述流体速度场。前者称为欧拉法，后者称为拉格朗日法。欧拉奠定了理想流体的理论基础，给出了反映质量守恒的连续方程（1752）和反映动量变化规律的流体动力学方程（1755）。

欧拉在固体力学方面的著述也很多，诸如弹性压杆失稳后的形状，上端悬挂重链的振动问题，等等。

欧拉的专著和论文多达800多种。

小行星欧拉2002是为了纪念欧拉而命名的。

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成就

欧拉和丹尼尔·伯努利一起，建立了弹性体的力矩定律1。

他还直接从牛顿运动定律出发，建立了流体力学里的欧拉方程2。这些方程组在形式上等价于粘度为0的纳维-斯托克斯方程。人们对这些方程的主要兴趣在于它们能被用来研究冲击波。

他对微分方程理论作出了重要贡献。他还是欧拉近似法的创始人，这些计算法被用于计算力学中。此中最有名的被称为欧拉方法。

在数论里他引入了欧拉函数。

自然数的欧拉函数被定义为小于并且与互质的自然数的个数。例如，，因为有四个自然数1，3，5和7与8互质。

在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也正是以欧拉函数为基础的。

在分析领域，是欧拉综合了莱布尼兹的微分与牛顿的流数。

他在1735年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得名声：

其中是黎曼函数。

欧拉将虚数的幂定义为如下公式:这就是欧拉公式，它成为指数函数的中心。

在初等分析中，从本质上来说，要么是指数函数的变种，要么是多项式，两者必居其一。被理查德·费曼称为“最卓越的数学公’”的则是欧拉公式的一个简单推论（通常被称为欧拉恒等式）：

在1735年，他定义了微分方程中有用的欧拉-马歇罗尼常数：

他是欧拉-马歇罗尼公式的发现者之一，这一公式在计算难于计算的积分、求和与级数的时候极为有效。

在1739年，欧拉写下了《音乐新理论的尝试(Tentamennovaetheoriaemusicae)》，书中试图把数学和音乐结合起来。

一位传记作家写道：这是一部”为精通数学的音乐家和精通音乐的数学家而写的”著作。

在经济学方面，欧拉证明，如果产品的每个要素正好用于支付它自身的边际产量，在规模报酬不变的情形下，总收入和产出将完全耗尽。

在几何学和代数拓扑学方面，欧拉公式给出了单联通多面体的边、顶点和-(zh-hans:面;zh-hant:面)-之间存在的关系：:

其中，F为给定多面体的面数之和，E为边数之和，V为顶点数之和。

这个定理也可用于平面图。对非平面图，欧拉公式可以推广为：如果一个图可以被嵌入一个流形，则：:其中χ为此流形的欧拉特征值，在流形的连续变形下是不变量。

单联通流形，例如球面或平面，的欧拉特征值是2。

对任意的平面图，欧拉公式可以推广为：，其中为图中连通分支数。

在1736年，欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题，并且发表了论文《关于位置几何问题的解法 (Solutioproblematisadgeometriamsituspertinentis)》，对一笔画问题进行了阐述，是最早运用图论和拓扑学的典范。

数独是欧拉发明的拉丁方块的概念,在当时并不流行,直到20世纪由平凡日本上班族锻治真起,带起流行

最有影响的100人–欧拉

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欧拉命名

1. 欧拉公式

欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式–将复数、指数函数与三角函数联系起来； 拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数论中的欧拉函数公式。 此外还包括其他一些欧拉公式，比如分式公式等

2.欧拉函数

欧拉函数，在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler’s totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。

3.欧拉定理

在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数−棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。

4.欧拉角

用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成，为欧拉首先提出而得名。

5.欧拉方程

1755年,瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。

在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：

（ax2D2+bxD+c）y=f(x)

其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D2y的系数是二次函数ax2，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。

6.欧拉线

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。

莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

如右图，欧拉线（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和欧拉圆圆心（红点）的一条直线。

注：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆，称为欧拉圆。

7.欧拉圆

欧拉圆又称九点圆。

三角形三边的中点,三高的垂足和三个偶辣点[连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点]九点共圆。

九点圆是几何学史上的一个著名问题。最早提出九点圆的是英国的培亚敏·俾几（Benjamin Beven），问题发表在1804年的一本英国杂志上。第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列（1788-1867）也有说是1820-1821年间由法国数学家热而工（1771-1859）与彭赛列首先发表的。一位高中教师费尔巴哈（1800-1834）也曾研究了九点圆，他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里，文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质（如下列的性质3）故有人称九点圆为费尔巴哈圆。

九点圆具有许多有趣的性质，例如：

1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；

2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；

3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；

4. 九点圆是一个垂心组（即一个三角形三个顶点和它的垂心，共四个点，每个点都是其它三点组成的三角形的垂心，共4个三角形）共有的九点圆，所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切。

5. 九点圆心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四点共线，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。

九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦。

设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘，
并令

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3

那么重心坐标为：

2c1+c2+c34c，2c2+c1+c34c，2c3+c1+c24c

。

8.《欧拉全集》

据统计，欧拉一生平均每年发表八百页的学术论文，内容涵盖多个学术范畴。1911年，数学界系统地开始出版欧拉的著作，并定名为《欧拉全集》(Opera Omnia)，迄今已上架者已有七十多卷，平均每卷厚达五百多页，重约四磅。预计《欧拉全集》全部出齐时约重三百磅。

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了解更多

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1. 作用在弹性细长杆上的力矩正比于物质的弹性和通过质心轴和垂直于两者的截面的惯性动量 ↩
2. 欧拉方程 ↩