动态规划练习一 01:最长上升子序列

描述

一个数的序列b_i，当b₁ <b₂ < ... < b_S的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a₁,a₂, ..., a_N)，我们可以得到一些上升的子序列(a_i1,a_i2, ..., a_iK)，这里1 <=i₁ < i₂ < ... < i_K <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入

输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

输出

最长上升子序列的长度。

样例输入

71 7 3 5 9 4 8

样例输出

        4

 

        动态规划问题的关键在于找到动态转移方程，该题为最长上升子序列问题，可以分别求出以第i个数结束的最长上升子序列，然后找出分别以这N个数结尾的上升子序列中的最大值，即为该数组的最长上升子序列的长度。

 

源代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{ int n,a[1001],b[1001],i,j,max,k;
  cin>>n;
  for(i=0;i<n;++i)
   cin>>a[i];
  b[0]=1;
  for(i=1;i<n;++i)
  { k=0;
    for(j=0;j<i;++j)
     if(a[j]<a[i]&&b[j]>k)
     { k=b[j];
  }
  k++;
  b[i]=k;
  }
  max=b[0];
  for(i=1;i<n;++i)
  { if(b[i]>max)max=b[i];
  }
  cout<<max<<endl;
}

 

     注意数组初始化时b[0]=1，即当只有一个数时最长子序列长度为1。