最大公约数问题

首先从定义说起，所谓公约数，就是能够同时被若干个整数整除的数。而这些数中最大的那个，就叫做最大公约数(greatest common divisor,简称gcd)。

讲完了定义，下面介绍几种求解最大公约数的算法。

第一种算法就是欧几里得（Euclid）提出的辗转相除法。

记x,y的最大公约数为f(x,y)。如果x,y同时可以整除t，那么y，x%y也可以整除t。理由很简单,令k=x/y(k为整数,因为x/y可能是小数),b=x%y。则x=ky+b。因为x可以整除t,所以(ky+b)也可以整除t。其中ky很明显可以整除t,则需要b也可以整除t。b既是x%y,得证。那么求f(x,y)就可以转换成为求f(y,x%y)。这也就是辗转相除的精髓:用上一次的除数作为新的被除数，用上一次的余数作为新的除数，循环求解。最后当除数为0时，被除数就是最大公约数。

下面举个例子，比如求24和16的gcd:

f(24,16)=f(16,8)=f(8,0)=8

下面上代码：

int gcd(int x,int y){  return y?gcd(y,x%y):x;}

这种算法有一点弊端，就是当数很大的时候（成百上千位），取模的开销会很大。由此我们提出了第二种算法。

第二种求gcd的方法f(x,y)=f(x-y,y)

如果x,y能同时整除t，则x=k1*t,y=k2*t,x-y=(k1-k2)*t(x>y)，则(x-y,y)可以同时整除t。值得一提的是，如果x<y则先把x,y位置对调，之后再迭代。当除数为0时，停止迭代，被除数就是gcd。

用这种方法求24和16的gcd如下：

f(24,16)=f(8,16)=f(16,8)=f(8,8)=f(0,8)=f(8,0)=8

继续上代码：

int gcd2(int x,int y){  if(x<y)return gcd2(y,x);  else if(y==0)return x;  else return gcd2(x-y,y);}

该函数仍然是定义成为int类，如果需要求大数的gcd则需要自己定义大数类并重载运算符，本篇只提供求解思路，大数类的定义就不赘述了。

由于仅仅是用了减法，所以计算开销大幅度降低。但是该算法仍然存在一定局限，考虑一种极端情况，求f(1000000000001,1)。这样的例子需要迭代的次数实在太多，有没有更好的算法呢？请看三号算法。

第三种求gcd的算法：

在讲第三种算法之前，首先先明确2点：

1.若x=k*x1,y=k*y1,则f(x,y)=f(k*x1,k*y1)=k*f(x1,y1)很明显k是公约数但不一定是最大公约数。

2.若x=p*x1,其中p是素数且y%p!=0(也就是说p是x的约数而不是y的约数，那么很显然p不是x,y的公约数)，则f(x,y)=f(p*x1,y)=f(x1,y)

计算机采用的是二进制，二进制移位运算对应着乘以2和除以2。我们不妨就从此下文章。

令p=2

如果x,y都是偶数的话，则f(x,y)=2*f(x/2,y/2)=[f(x>>1,y>>1)]<<1

如果x为偶，y为奇数， 则f(x,y)=f(2*x1,y)=f(x1,y)=f(x>>1,y)

如果x为奇，y为偶数， 则f(x,y)=f(x,2*y1)=f(x,y1)=f(x,y>>1)

如果x,y都是奇数的话，则f(x,y)=f(x-y,y)

用这种方法求24和16的gcd：

f(24,16)=2*f(12,8)=4*f(6,4)=8*f(3,2)=8*f(3,1)=8*f(2,1)=8*f(1,1)=8*f(0,1)=8*f(1,0)=8

话不多说，上代码：

int gcd3(int x,int y){  if(x<y)return gcd3(y,x)  else if(y==0)return x  else if(isEven(x) && isEven(y))return (gcd3(x>>1,y>>1)<<1);  else if(isEven(x) && (!isEven(y)))return gcd3(x>>1,y);  else if((!isEven(x)) && isEven(y))return gcd3(x,y>>1);  else return gcd3(x-y,y);}

需要说明一下，isEven是判断是否为偶数 ，在此不予赘述。