【动态规划】求最大上升子序列

问题描述
一个数的序列bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).
你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

—–9.27更新，以下是错误的思路。—–
解题思路：
对于一个序列 a1 a2 a3 a4 a5 a6
若用MaxLen[ i ] 表示从a1到 a i 的最大上升子序列长度
MaxLen[i] 取决于MaxLen[i-1]
如 1 7 3 5 4 8
MaxLen[1] = 1;
MaxLen[2] = MaxLen[1] if(a[2] > a[1]) 则 +1
MaxLen[3] = MaxLen[2] 不加1
…
以此类推，问题规模变小
。。。
这个思路是有问题的，原因在于，我们并不能确定最大上升子序列的终点总是在a[i-1]， 如我们输入一个序列 7 8 9 1 2 3 4 ，答案就是错误的。

/*第一次写时的错误代码*/#include <iostream>#define MAXN 100using namespace std;int a[MAXN];int result[MAXN];void f(int N){    for(int i = 1; i <= N ; ++i)    {        if(i == 1)            result[i] = 1;        else        {            if(a[i] > a[i-1])                result[i] = result[i-1] + 1;            else                 result[i] = result[i-1];        }    }}int main(){    int N;    cin >> N;    for(int i = 1; i <= N ; ++i)        cin >> a[i];    f(N);    cout << result[N];    return 0;   } 

以下是正确的解题思路：
对于以a[i]为终点的最长子序列M[i]，如果前面的M[k] (k < i)都是确定且正确的，那么我们要先找到 a[1] a[2] … a[i-1] 所有中比a[i]小的元素，记为a[k]，其最大子序列为M[k]，M[i] = max{ M[k]+1 } （k = 2 3 4 … i-1）

以下是代码实现

#include <iostream>#define MAXN 1010using namespace std;int a[MAXN];int result;int M[MAXN];  //M[i]表示以i为终点的最长上升子序列 int main(){    int N;    cin >> N;    for(int i = 1; i <= N ; ++i)    {        M[i] = 1;        cin >> a[i];    }    int maxLength = 1;    for(int i = 1; i <=N; ++i)    {        int m = M[i];        for(int j = 2; j <= i; j++)        {            if(a[i] > a[j])            {                if(M[j] + 1 > m )                    m = M[j] +1;             }        }        M[i] = m;        if(M[i] > maxLength)            maxLength = M[i];    }    cout << maxLength << endl;    return 0;   }