行列式(1)

唠

重学线性代数，才发现线性代数的巧妙。想起曾经虚度的时光，有一丝可惜，也谈不上后悔，没有现在的心境也绝静不下心来去钻研这些。

主要总结一下线性代数的行列式和行列式的意义。从2阶行列式，到3阶行列式，再引入排列和对换的概念，对2,3阶行列式总结，然后引入n阶行列式，并对n阶行列式的一般特性做个归纳。
不得不说，我们所学的数学就是一堆定义，1+1为什么等于2，没有为什么，这就是一个定义，我们思考加法问题需要站在1+1=2的定义的基础之上。思考数学问题也是这样，我们站在一些已知的定义之上，去推导在这座定义基础之上的一般规律，再引入新的定义帮助我们完成更高抽象的思考。

二阶行列式

那说说行列式，有一种数学问题是二元一次方程组，有x1，x2两个未知量，已知一组-两个关于x1，x2的方程组

a11 x1 + a12 x2 = b1 <1>
a21 x1 + a22 x2 = b2 <2>

如下图，一个二元方程组，根据以往的经验这其实可以化作二维平面上的两条直线，或者说二元方程组就是为了解决二维平面的线性问题

当 两条直线相交，此方程组有唯一解

当 两条直线重合，此方程组无数解

两条直线平行不重合，此方程组无解

说这么多，其实二元方程组就是用来解决二维平面直线相交解问题
那怎么解，根据斜率也只能估算解的个数，有一种方法叫【消元法】

回顾一下消元法，还是以以上的方程组为例：

首先，消去x1，

<1> * a21 = <1>’ ：a11 a21 x1 + a12 a21 x2 = a21 b1

<2> * a11 = <2>’ ：a11 a21 x1 + a11 a22 x2 = a11 b2

<1>’ - <2>’ 就会消去变量x1

x2=a11b2−a21b1a11a22−a12a21

同理，消去x2，得

x1=a22b1−a12b2a11a22−a12a21

有一点很重要：当a11 a22 - a12 a21 ！= 0 时，方程组的两个解为x1 与 x2

其实看看上面的表达式，会发现一点规律，把方程组的系数项排列

|a11 a12||a21 a22|

x1,x2的分母其实是

| \ / |对角线相乘然后代数取和，【\】方向取整数【/】方向取负数| / \ |

而分子，就引入行列式（二阶）

|a11 a12| = D|a21 a22|

运算规则就是–对角线相乘然后代数取和，【\】方向取整数【/】方向取负数

这样看，x1 的分子由可以看成下面行列式，运算结果

|b1 a12| = D1|b2 a22|

x2 的分子由可以看成下面行列式，运算结果

|a11 b1| = D2|a21 b2|

这样，对于行列式这个新工具，可以帮我在更抽象的层面更简单的计算二元一次方程组

x1=D1D

x2=D2D

D:系数行列式
D1，D2:常数行列式

三阶行列式

三元一次线性方程组

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3

三个位置量确定三位空间唯一确定的一个点，消元法再来一次，会得到x1,x2,x3,其运算结果很有趣
对角线法则

|a11 a12 a13||a21 a22 a23||a31 a32 a33|

正对角(3项)

a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a 32

负对角(3项)

-a13 a22 a31 - a12 a21 a33 - a11 a23 a32

上面三阶行列式的运算结果就是以上正对角和负对角的6项代数和
同 二阶行列式与二元方程组一样一样，三阶行列式

|a11 a12 a13||a21 a22 a23| = D|a31 a32 a33|

|b1 a12 a13||b2 a22 a23| = D1|b3 a32 a33|

|a11 b1 a13||a21 b2 a23| = D2|a31 b3 a33|

|a11 a12 b1||a21 a22 b2| = D3|a31 a32 b3|

x1=D1D

x2=D2D

x3=D3D

思索停顿

其实到三阶行列式，和他们关联的几何图形，我们大脑里可以想象出来

二元一次线性方程组，我把它想象成二维平面上相交的两条直线，交点就是两个未知量x1,x2的值

三元。。。。。。。。。。。。。。三维空间中相交的三条直线，交点就是三个未知量x1,x2,x3的值

四维 ORZ ，我想不出来，但是（如果行列式普遍适用于n阶向量计算）用行列式这个工具，我照样可以计算四维空间的一次线性方程组问题，其意义就是在一定已知条件下确定四维空间中一个精准的唯一确定的点

一直到n维空间，虽然大脑无法想象那么抽象的空间，但并不妨碍我们运算并通过运算理解更高维度的空间

其实到现在为止，作为一个学习者而言，我最好奇的是究竟行列式这个工具的计算是否可以适用于所有维度线性方程组问题，是的话，如何去证明。

其实以前我总是觉得那些人有病，因为所以科学道理，为什么要去证明那么多枯燥无聊的东西，现在才发现，有一天我也会有迫不及待地心情想要去证明一些曾经厌弃的东西。没有错，数学就是我们的一堆定义，它抽象于大自然的基本规律，我们又在这堆规律之上再抽象出新的定义，它或许可以让我们从更高维度理解自然的现象，又或许…

在引入n阶行列式前，需要先引入排列的概念

其实从之前的2，3阶行列式看，所有项都是行列式元素的排列

排列

1,2…n n个数中所有的元素按一定顺序排列且不重复，就叫做这n个数的排列。
所有的排列情况，叫做全排列。

例如：1,2,3有 1,2,3 /1,3,2 /2,1,3 /2,3,1 /3,1,2 /3,2,1 6种排列

n个元素的全排列有n*(n-1)*(n-2)….*1=n!种

对换

定义：将n个元素的排列中任意两个元素对调的手续，叫做对换。将相邻的两个元素对换叫相邻对换。

逆序对

定义：排列中，前面的一个元素比后面任意一个元素大，则称这对元素为逆序数。

逆序数

定义：一个排列中逆序对的个数即位逆序数。

例如：排列1，4，2，3

τ(1,4,2,3)=τ(1)+τ(4)+τ(2)+τ(3)=0+2+0+0=2

一个排列中逆序数为偶数称为偶排列，反之为奇排列。

定理1.排列中发生一次对换操作会改变排列奇偶性。

证明：
首先，以相邻对换为例：
排列P = a1,a2…an,a,b,b1,b2…bn
将a与b做相邻对换后
如果a > b
则

τ(a1,a2...an,b,a,b1,b2...bn)=τ(a1,a2...an,a,b,b1,b2...bn)−1

如果a < b
则

τ(a1,a2...an,b,a,b1,b2...bn)=τ(a1,a2...an,a,b,b1,b2...bn)+1

综上，不论何种情况，新排列的奇偶性都会发生变化
然后，以一般情况为例：
排列P=a1,a2…an,a,b1,b2…bm,b,c1,c2…cl
先将a向右依次作m+1次相邻对换，得到
P’ = a1,a2…an,b1,b2…bm,b,a,c1,c2…cl
再将b向左依次作m次相邻对换，得到
P” = a1,a2…an,b,b1,b2…bm,a,c1,c2…cl
最终，P”是P的a，b对换结果
由上可知，一般情况下，a,b对换操作会发生2m+1次相邻对换
综上，改变2m+1次奇偶性后，会最终改变奇偶性。
所以，定理成立。

推论1.奇排列对换为自然排列的次数为奇数。
偶排列对换成自然排列的次数为偶数
证明：
自然排列的逆序数对0，偶数。
根据定理1，为了改变奇偶性，奇排列必须经过奇数次对换
同理，为了不改变奇偶性，偶排列必须经过偶数次对换

推论2.在1，2…n的全排列中，奇偶排列各占一半。
证明：
记偶排列集合为E，奇排列集合为O，则E&O=NULL
而奇排列个数与偶排列个数之和为所有排列个数
即 |E| + |O| = n！
取定对换操作f
则

f(E)⊆O

且

f(O)⊆E

综上，可知
|E| <= |O| 且 |O| <= |E|
那么，|E| = |O| = （n！）/2