斜率小于0的连线数量-归并排序

题目：

二维平面上N个点之间共有C(n,2)条连线。求这C(n,2)条线中斜率小于0的线的数量。

二维平面上的一个点，根据对应的X Y坐标可以表示为(X,Y)。例如：(2,3) (3,4) (1,5) (4,6)，其中(1,5)同(2,3)(3,4)的连线斜率 < 0，因此斜率小于0的连线数量为2。

Input

第1行：1个数N，N为点的数量(0 <= N <= 50000)第2 - N + 1行：N个点的坐标，坐标为整数。(0 <= X[i], Y[i] <= 10^9)

Output

输出斜率小于0的连线的数量。(2,3) (2,4)以及(2,3) (3,3)这2种情况不统计在内。

Input 示例

42 33 41 54 6

Output 示例

2

题目分析：

这道题目还有另外一个表述就是求斜率大于0的数量，其实本质是一样的。

一看题目的数据量，就知道肯定不能直接枚举。

首先稍微分析一下我们发现，斜率小于0的情况的直线就是直角坐标系中经过二四象限的直线，由于所有点都在第一象限，所以说，如果两个点满足斜率小于0，比如（x1,y1）(x2,y2)一定满足（x2>x1,y1>y2)或者相反(x1>x2,y2>y1)。其实也就是经过二四象限直线上的点满足的条件。

那么既然如此，我们可以先对x从小到大排序，那么对于每一个点，能够和这个点组成斜率小于0的点就是后面所有点中纵坐标y小于当前点纵坐标的点，那么直线的数量也就是比当前y值小的点的个数。判断到这里，一般人都会想到枚举，直接对于每一个点，求后面y值小于当前y值的点的个数，然后求和即可。但是这样可定会超时。

            对于逆序数熟悉的人，就会发现，y值大于后面的y值，实际上就是逆序数。什么是逆序数，就是每个数有一个下标i,j；当i<j时，如果a[i]>a[j]那么这就是一个逆序数对。

          因此，求所有y点，后面小于他的点的个数的总和，其实就是求由y坐标组成的序列的逆序对数。

逆序对数很明显，归并排序直接就解决了。

这里注意一个细节，那就是斜率不存在以及斜率为0的情况如何规避。斜率为0的也就是y值一样的，这里求逆序数的时候不判断相等即可规避。斜率不存在也就是x相同的，如何规避呢，这里就是在按x排序的时候，如果两个点的x一样，那么他们的y就从小到大排序，这样对于x一样的点就不会有逆序对，这样当然后面求逆序对的时候也就不会计算在内了。

代码：

#include<iostream>#include <algorithm>#include <vector>using namespace std;const int MAXN = 50002;typedef struct POINT{int x,y;}Point;Point point[MAXN];int N;__int64 sum;bool cmp(const Point &a, const Point &b){if (a.x == b.x){return a.y < b.y;}return a.x < b.x;}void Merge(vector<int>&Y,int l, int mid, int r){vector<int>L;vector<int>R;for (int i = l; i <= mid; ++ i){L.push_back(Y[i]);}for (int i = mid + 1; i <= r; ++ i){R.push_back(Y[i]);}int p = 0,q = 0,k = l;while (p < L.size() && q < R.size()){if (L[p] <= R[q]){Y[k++] = L[p++];}else{sum += L.size() - p;//mid - l - p + 1;Y[k++] = R[q++];}}while (p<L.size()){Y[k++] = L[p++];}while (q<R.size()){Y[k++] = R[q++];}}void MergeSort(vector<int> &Y,int l, int r){if (l < r){int mid = (l+r)>>1;MergeSort(Y,l,mid);MergeSort(Y,mid+1,r);Merge(Y,l,mid,r);}}int main(){while (cin >> N){sum = 0;for (int i = 0; i < N; ++ i){cin >> point[i].x >> point[i].y;}sort(point,point+N,cmp);vector<int>Y;for (int i = 0; i < N; ++ i){Y.push_back(point[i].y);}MergeSort(Y,0,N-1);cout << sum << endl;}return 0;}