小球下落

有一棵二叉树，最大深度为D，且所有叶子的深度都相同。所有结点从上到下从左到右编号为1，2，3，...，2^D-1。在结点1处放一个小球，它会往下落。每个内结点上都有一个开关，初始全部关闭，当每次有小球落到一个开关上时，它的状态都会改变。当小球到达一个内结点时，如果该结点上的开关关闭，则往左走，否者往右走，直到走到叶子结点。
一些小球从结点1处依次开始下落，最后一个小球将会落到哪里呢？输入叶子深度D和小球个数I，输出第I个小球最后所在的叶子编号。假设I不超过整棵树的叶子个数（即2^(D-1)）。D<=20。输入最多包含1000组数据。
样例输入：
4 2
3 4
10 1
2 2
8 128
16 12345
样例输出：
12
7
512
3
255

36358

分析：

对于一个结点k，它的左儿子、右儿子的编号分别是2k和2k+1。模拟程序如下：

#include<stdio.h>#include<string.h>const int MAXD = 20;int s[1<<MAXD];int main(){    int D, I;    while(scanf("%d%d", &D, &I) == 2)    {        memset(s, 0, sizeof(s));        int k, n = (1<<D) - 1;        for(int i = 0 ; i < I; i++)        {            k = 1;            for(;;)            {                s[k] = !s[k];                k = s[k] ? k*2 : k*2+1;                if(k > n) break;            }        }        printf("%d\n", k / 2);    }    return 0;}

利用模拟小球移动的程序有一个共同的缺点：运算量太大。由于I可以高达2^D-1.

每个小球都会落在根节点上，因此前两个小球必然是一个在左子树，一个在右子树。一般地，只需看小球编号的奇偶性，就能知道它是最终在哪棵子树中。对于那些落入根节点左子树的小球来说，只需知道该小球是第几个落在根的左子树里的，就可以知道它下一步往左还是往右了。以此类推，直到小球落在叶子上。

程序如下：

#include<iostream>using namespace std;int main(){    int d, n;    while(cin >> d >> n)    {        int k = 1;        for(int i = 0; i < d-1; i++)            if(n%2)            {                k *= 2;                n = (n+1)/2;            }            else            {                k = k*2+1;                n /= 2;            }            cout << k << endl;    }    return 0;}