贝尔数

转自ACdreamer http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/12309269

Bell数的定义：第n个Bell数表示集合{1,2,3,...,n}的划分方案数，即：B[0] = 1;

 

 

每一个Bell数都是第二类Stirling数的和，即：

 

 

第二类Stirling数的意义是：S(n,k)表示将n个物体划分成k个非空的不可辨别的（可以理解为盒子没有编号）集合的方法

数。很明显，每一个Bell是对应的第二类Stirling数之和。

 

Bell数的指数生成函数是：

 

 

关于它的推导过程详见：http://ftiasch.github.io/useless/posts/2013-09-27-generating-function-of-bell-number.html

 

 

 

Bell三角形(构建方法类似于杨辉三角形)

 

Bell三角形的构造方法：

第一行第一个元素是1，即a[1][1] = 1

对于n>1，第n行第一项等于第n-1行最后一项，即a[n][1] = a[n-1][n-1];

对于m,n>1，第n行第m项等于它左边和左上方的两个数之和，即a[n][m] = a[n][m-1] + a[n-1][m-1];

 

如图：

 

可以看出，每行首项是贝尔数，每行之和是第二类Stirling数。

 

 

Bell还有两个重要的同余性质：

 

 

 

其中这里的p是不大于100的素数，这样，我们可以通过上面的性质来计算Bell数模小于100的素数值。

 

Bell数模素数p的周期为：

 

 

 

典型题目：HDU2512，HDU4767

 

Bell数的预处理：

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1. void Bell(int T[],int MOD)  
2. {  
3.     B[0] = 1;  
4.     B[1] = 1;  
5.     T[0] = 1;  
6.     for(int i=2;i<N;i++)  
7.     {  
8.         T[i-1] = B[i-1];  
9.         for(int j=i-2;j>=0;j--)  
10.             T[j] = (T[j]+T[j+1])%MOD;  
11.         B[i] = T[0];  
12.     }  
13. }