贝尔数

来源:互联网 发布:手机 惯性导航算法 编辑:程序博客网 时间:2022/08/16 17:34

转自ACdreamer http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/12309269


Bell数的定义:第n个Bell数表示集合{1,2,3,...,n}的划分方案数,即:B[0] = 1;

 

 

每一个Bell数都是第二类Stirling数的和,即:

 

 

第二类Stirling数的意义是:S(n,k)表示将n个物体划分成k个非空的不可辨别的(可以理解为盒子没有编号)集合的方法

数。很明显,每一个Bell是对应的第二类Stirling数之和。

 

Bell数的指数生成函数是:

 

 

关于它的推导过程详见:http://ftiasch.github.io/useless/posts/2013-09-27-generating-function-of-bell-number.html

 

 

 

Bell三角形(构建方法类似于杨辉三角形)

 

Bell三角形的构造方法:

第一行第一个元素是1,即a[1][1] = 1

对于n>1,第n行第一项等于第n-1行最后一项,即a[n][1] = a[n-1][n-1];

对于m,n>1,第n行第m项等于它左边和左上方的两个数之和,即a[n][m] = a[n][m-1] + a[n-1][m-1];

 

如图:

 

可以看出,每行首项是贝尔数,每行之和是第二类Stirling数。

 

 

Bell还有两个重要的同余性质:

 

 

 

其中这里的p是不大于100的素数,这样,我们可以通过上面的性质来计算Bell数模小于100的素数值。

 

Bell数模素数p的周期为:

 

 

 

典型题目:HDU2512,HDU4767

 

Bell数的预处理:

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  1. void Bell(int T[],int MOD)  
  2. {  
  3.     B[0] = 1;  
  4.     B[1] = 1;  
  5.     T[0] = 1;  
  6.     for(int i=2;i<N;i++)  
  7.     {  
  8.         T[i-1] = B[i-1];  
  9.         for(int j=i-2;j>=0;j--)  
  10.             T[j] = (T[j]+T[j+1])%MOD;  
  11.         B[i] = T[0];  
  12.     }  
  13. }  
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