从1到n整数中1出现的次数 算法分析

一、问题提出

输入一个正整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。如若n=12，则从1到12中，包含1的有1,10,11,12,“1”一共出现了5次，故结果应该为5。

二、分析

算法的核心思路是计算出对于从1~n的每一个数，其在每一位上出现的1的个数，然后求和即可。
为了分析，这里我们拿n=12345举例。
我们先看百位，从1~12345这些数中，百位上的“1”一共出现了几次？对于这个问题，我们知道对于这些数，百位上出现“1”的一定具有□□1□□的形式，因此我们要做的就是在方框之中填入数字，使得填入数字后满足组成的数AB1CD小于或等于12345。
显然，若要AB1CD不大于12345，则只需要AB不大于12即可
因此，对于ABCD可以是0000,0001…1201,1202……1298,1299，
对应的数字就是00100,00101……12101,12102……12198,12199。
也就是具有（12+1）*100=1300种可能，因此，对于从1~12345这些数，千位上一共含有1300个1。
同样的分析，对于十位，应该有(123+1)*10=1240个“1”，对于千位，应该有(1+1)*1000=2000个“1”，我们先不考虑个位和万位的边缘情况。
至此，我们似乎发现了规律1：当考察的位上的数字>1时（这里分别是2,3,4）只需要将该位左边的数码所组成的新的数加1，然后乘以考察位的权重即可。

现在我们看第二种情况，n=12004：
对于百位，所有满足条件的数字同样应该具有□□1□□的形式，但是这时，为了使□□1□□或者说AB1CD不大于12004，必须要求AB小于12！
因此，这样ABCD的取值可以是:0000,0001……1101……1199。
对应的原来的数字分别是00100,00101……11101……11199，
一共有12*100=1200个“1”。
同样的，对于十位，自然应当有120*10=1200个“1”
于是，我们发现了规律2：当考察的位上的数字为0时，只需要将该位左边的数码组成的新的数乘以该位的权重即可

接下来看最后一种情形，n=12115
依旧看百位，同样满足条件的数应该具有□□1□□的形式，为了使□□1□□或者说AB1CD不大于12115，我们只需要AB小于12或者AB恰好等于12，对于AB小于12的情况，分析和规律2是完全一致的有12*100=1200种情形，但是这里还有新的可能，就是AB等于12，即121CD必须要不大于12115，当然了，显然有00,01……14,15一共16种可能！
综上，对于百位，一共出现了12*100+15+1=1216个“1”
对于十位，一共出现了121*10+5+1=1216个“1”
于是我们得到了规律3：当考察的位上的数字为1时，只需要将该位左边的数码组成的新的数乘以该位的权重，然后加上该位右边的数码组成的新的数字，再加1即可

我们得到以上这三个重要规律时，前提都是考察的位不处于边缘，但经过简单的检验就可以发现，以上规律对于边缘上的位依旧成立。

三、应用

有了以上的三个规律后，我们就可以轻松的解决这个问题了，为了更好的理解，我们这里就拿n=11023举例，手动算试一试
个位大于1，利用规律1：（1102+1）*1=1103
十位大于1,利用规律1：（110+1）*10=1110
百位是0,利用规律2：11*100=1100
千位是1，利用规律3：1*1000+23+1=1024
万位是1，利用规律3:0*10000+1023+1=1024
于是答案是：1103+1110+1100+1024+1024=5361

四、代码

Counting Ones