NYOJ 746 整数划分（四）详解 （区间DP）

整数划分（四）

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难度：3

描述

       暑假来了，hrdv 又要留学校在参加ACM集训了，集训的生活非常Happy（ps：你懂得），可是他最近遇到了一个难题，让他百思不得其解，他非常郁闷。。亲爱的你能帮帮他吗？

      问题是我们经常见到的整数划分，给出两个整数 n , m ,要求在 n 中加入m - 1 个乘号，将n分成m段，求出这m段的最大乘积

输入

第一行是一个整数T，表示有T组测试数据
接下来T行，每行有两个正整数 n，m ( 1<= n < 10^19, 0 < m <= n的位数)；

输出

输出每组测试样例结果为一个整数占一行

样例输入

2111 21111 2

样例输出

11121

思路：区间DP，dp【i】【j】代表的是 1-i 个字符中有j个乘号，枚举的是在每个区间分别有k个乘号的结果，在前i个字符中，枚举k，即第j个乘号的位置，这样转移方程就是dp[i][j] = dp[k][j-1] * a[k+1][i]，即在k跟k+1之间插入第j个乘号，后面肯定就是一个数了，因为dp【i】【j】前面有j-1个乘号了，最后一个乘号后面肯定没有乘号了，而且不用担心害怕有两个乘号在一起，因为dp[i][j] = dp[k][j-1] * a[k+1][i]前k个没有j-1个乘号的话，就会是0，因为从来没有这种情况。初始状态就是dp[i][1] = a[1][i];如果只有一个乘号的话，前面的就是这个数本身，把每个区间数值大小都预处理一下

在这个循环过程中，每一步都用前面的作为条件，比如找dp[3][3]，他要用到所有dp[][j2]，而所有的dp[][2]已经在前面枚举过了，每次都枚举最优状态从而达到整体最优

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long ll;const int maxn = 50;ll dp[maxn][maxn], a[maxn][maxn], m;char s[maxn];int main(){    int t;    scanf("%d", &t);    while(t--)    {        memset(dp, 0, sizeof(dp));        scanf("%s", s+1);        scanf("%d", &m);        int len = strlen(s+1);//        cout << len  << endl;        for(int i = 1; i <= len; i++)  //预处理每个区间的值        {            a[i][i] = s[i] - '0';            for(int j = i+1; j <= len; j++)                a[i][j] = a[i][j-1] * 10 + s[j] - '0';        }        for(int i = 0; i <= len; i++)            dp[i][1] = a[1][i];        for(int j = 1; j <= m; j++)  //注意这里是j在最外层，而不是枚举区间i在最外层，因为这样比较好控制临界        {            for(int i = j; i <= len; i++)  //直接从j开始，因为不可能出现区间个数比j还小的情况            {                for(int k = j-1; k < i; k++) //这个同理                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[k][j-1]*a[k+1][i]);            }        }        cout << dp[len][m] << endl;    }    return 0;}