欧拉+逆元-洛谷P2155 [SDOI2008]沙拉公主的困惑

https://daniu.luogu.org/problem/show?pid=2155
这个题目信息量蛮大的；
首先一个定理
(x,y)=(x,y-x)//x>y
这个就是gcd啊；
设(x,y)=t;
t|x;
t|y
∴(x,y-x)=t;
那么
(x,y+k*x)=(x,y)
即

若一个数x与m!互质，那么x+(m!)也一定与m!互质，(x+m!*2)也一定与m!互质
于是我们每存在到一个x<=m!与m!互质，我们就一定能找到(n!)/(m!)个与m!互质的数

所以题目就是让我们求

φ(m!)*(n!)/(m!) %p

这个用通式可以变成

n!*∏(pi-1)/pi

上面选自某犇博客
我们可以离线处理n!，但是我们不能边除边模
所以我们要求逆元；
用exgcd求逆元显然萎了；
那么我们怎么办？
这里

最后一步

inv[i] == -MOD / i * inv[MOD%i]
inv[i] == ( MOD - MOD / i) * inv[MOD%i]

道理和
((x-y)%mo+mo)%mo
是一样的；
代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#define Ll long longusing namespace std;const int M=1e7;Ll q[M+5],tot,p[M+5];//为了节约内存，我重复利用q,p数组bool com[M+5];Ll m,mo,x,y;int read(){    int k=0;    char ch=getchar();    for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());    for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) k=k*10+ch-48;    return k;}void findcom(){    com[1]=1;    for(int i=2;i<=M;i++){        if(!com[i]){q[++tot]=i;}        for(int j=1;j<=tot;j++){            if(i*q[j]>M)break;            com[i*q[j]]=1;            if(i%q[j]==0)break;        }    }}int inv(int x){    if(p[x])return p[x];return p[x]=(mo-mo/x)*inv(mo%x)%mo;}void findinv(){    q[1]=p[0]=p[1]=1;    for(int i=2;i<=M;i++)if(com[i])q[i]=q[i-1];else        q[i]=q[i-1]*(i-1)%mo*inv(i%mo)%mo;}void find1_N(){    p[1]=1;    for(int i=2;i<=M;i++)p[i]=p[i-1]*i%mo;}int main(){    m=read();mo=read();    findcom();    findinv();    find1_N();    while(m--){        x=read();y=read();        printf("%lld\n",p[x]*q[y%mo]%mo);    }}

大家可以看到我求inv(i)时对i取模；
假如(i>mo)
那么令i=x+y*mo;
那么我们乘inv（i）就等于inv(x)；
这个用exgcd也可以证明