动态规划-最长上升子序列

描述

一个数的序列b_i，当b₁ < b₂ < ... < b_S的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a₁, a₂, ..., a_N)，我们可以得到一些上升的子序列(a_i1, a_i2, ..., a_iK)，这里1 <= i₁ < i₂ < ... < i_K <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入

输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

输出

最长上升子序列的长度。

样例输入

71 7 3 5 9 4 8

样例输出

4

如何把这个问题分解成子问题呢？经过分析，发现“求以ak（k=1,2, 3…N）为终点的最长上升子序列的长度”是个好的子问题。
由上所述的子问题只和一个变量相关，就是数字的位置。因此序列中数的位置k就是“状态”，而状态k对应的“值”，就是以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度。这个问题的状态一共有N个。状态定义出来后，转移方程就不难想了。

假定MaxLen (k)表示以ak 做为“终点”的最长上升子序列的长度，那么：
MaxLen (1) = 1
MaxLen (k) = Max { MaxLen (i)：1<i < k 且 ai < ak 且 k≠1 } + 1
实际实现的时候，可以不必编写递归函数，因为从 MaxLen(1)就能推算出MaxLen(2)，有了MaxLen(1)和MaxLen(2)就能推算出MaxLen(3)……

下面是我的ac代码：

#include<iostream>using namespace std;int main(){    int i,j,N;    cin>>N;    int b[N+1],aMaxLen[N+1];    for(i=1;i<=N;i++)    {        cin>>b[i];    }    aMaxLen[1]=1;    for(i=2;i<=N;i++)    {
//求以第i个数为终点的最长上升子序列的长度
        int nTmp=0;//记录第i个数左边子序列最大长度        for(j=1;j<i;j++)        {
//搜索以第i个数左边数为终点的最长上升子序列长度
            if(b[i]>b[j])            {                if(nTmp<aMaxLen[j])nTmp=aMaxLen[j];            }        }        aMaxLen[i]=nTmp+1;    }    int nMax=-1;    for(i=1;i<=N;i++)    {        if(nMax<aMaxLen[i])nMax=aMaxLen[i];    }    cout<<nMax;    return 0;}