洛谷1082 同余方程

来源

NOIP 2012 提高组 D2T1

题目描述

求关于 x 的同余方程 ax≡1(modb)的最小正整数解。
传送门

算法

既然是第二天第一题，又有同余，那肯定是数论题、、、
那么数论中有什么常和同余放在一起的内容呢？
可以想到扩展欧几里德，它与同余有关。

何为扩欧？
对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

扩欧的作用主要在三个方面：

• 求解不定方程
• 求解线性同余方程
• 求模的逆元

当然本题只需要用到第三个。

ax≡1(modb) 等价于 ax+by=1，
也就是要求x，正是扩欧的用武之处。

注意得到的解可能是负的，要手动取模。

代码

#include <algorithm>#include <iostream>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <cstdio> using namespace std;void mengbi(int a,int b,int &x,int &y) //求ax+by=1的函数（不要在意名字）{    if (!b) x=1,y=0;    else    {        mengbi(b,a%b,y,x);        y-=x*(a/b);    }}int main(){    int a,b,x,y;    scanf("%d%d",&a,&b); //输入    mengbi(a,b,x,y); //求值     printf("%d\n",((x%b)+b)%b); //输出（记得取模）    return 0;}

后记

这是一道扩欧的题目，值得一做