NOIP2009普及组细胞分裂（数论）——yhx

题目描述

Hanks 博士是 BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家。现在，他正在为一个细胞实

验做准备工作：培养细胞样本。

Hanks 博士手里现在有 N 种细胞，编号从 1~N，一个第 i 种细胞经过 1 秒钟可以分裂为

Si个同种细胞（Si为正整数）。现在他需要选取某种细胞的一个放进培养皿，让其自由分裂，

进行培养。一段时间以后，再把培养皿中的所有细胞平均分入 M 个试管，形成 M 份样本，

用于实验。Hanks 博士的试管数 M 很大，普通的计算机的基本数据类型无法存储这样大的

M 值，但万幸的是，M 总可以表示为 m1的 m2次方，即

M = m1^m2

，其中 m1，m2均为基本

数据类型可以存储的正整数。

注意，整个实验过程中不允许分割单个细胞，比如某个时刻若培养皿中有 4 个细胞，

Hanks 博士可以把它们分入 2 个试管，每试管内 2 个，然后开始实验。但如果培养皿中有 5

个细胞，博士就无法将它们均分入 2 个试管。此时，博士就只能等待一段时间，让细胞们继

续分裂，使得其个数可以均分，或是干脆改换另一种细胞培养。

为了能让实验尽早开始，Hanks 博士在选定一种细胞开始培养后，总是在得到的细胞“刚

好可以平均分入 M 个试管”时停止细胞培养并开始实验。现在博士希望知道，选择哪种细

胞培养，可以使得实验的开始时间最早。

输入输出格式

输入格式：

第一行有一个正整数 N，代表细胞种数。

第二行有两个正整数 m1，m2，以一个空格隔开，

即表示试管的总数 M = m1^m2。

第三行有 N 个正整数，第 i 个数 Si表示第 i 种细胞经过 1 秒钟可以分裂成同种细胞的个

数。

输出格式：

输出文件 cell.out 共一行，为一个整数，表示从开始培养细胞到实验能够开始所经过的

最少时间（单位为秒）。

如果无论 Hanks 博士选择哪种细胞都不能满足要求，则输出整数-1。

 1 #include<cstdio> 2 #include<cmath> 3 struct prm 4 { 5     int x,t; 6 }m[10010]; 7 int a[10010]; 8 int main() 9 {10     int i,j,k,n,p,q,m1,m2,x,y,z,cntm,ans,t;11     bool ok;12     scanf("%d",&n);13     scanf("%d%d",&m1,&m2);14     cntm=0;15     for (i=2;m1!=1;i++)16       if (m1%i==0)17       {18           cntm++;19           m[cntm].x=i;20           while (m1%i==0)21           {22               m[cntm].t++;23               m1/=i;24         }25         m[cntm].t*=m2;26       }27     ans=-1;28     for (i=1;i<=n;i++)29       scanf("%d",&a[i]);30     for (i=1;i<=n;i++)31     {32         p=0;33         ok=1;34         for (j=1;j<=cntm;j++)35           if (a[i]%m[j].x==0)36           {37               t=0;38               while (a[i]%m[j].x==0)39               {40                   a[i]/=m[j].x;41                   t++;42             }43             if (m[j].t%t==0) t=m[j].t/t;44             else t=m[j].t/t+1;45             if (t>p) p=t;46           }47           else48           {49               ok=0;50               break;51           }52         if (ok&&(ans==-1||p<ans)) ans=p;53     }54     printf("%d\n",ans);55 }

题目可以转化成求方程a^x=km₁^m₂(k为整数)的最小整数解。【我也来试一试打公式】

先把m1质因数分解，再把每个次数都乘上m2就是题中的M质因数分解的结果。

方程如果有解，那么必须m1的每个因数都是a的因数，这样a经过幂之后才可能成为m1的倍数。在此基础上，取各个因数中次数相差最多（指的是倍数）的一个的倍数，就是x的最小值。